Задание 18: Фигуры на квадратной решётке

Фигуры на квадратной решётке (Задание 18)

Задание 18 — из первой части ОГЭ, и оно одно из самых приятных во всём варианте. Тебе дают картинку: на клетчатой бумаге (клетка $1\times 1$) нарисована фигура — треугольник, трапеция, ромб, параллелограмм — или просто несколько точек. Нужно найти какую-то её величину: длину стороны, диагональ, площадь, среднюю линию или расстояние. Ответ — обычно целое число или короткая десятичная дробь, которую ты записываешь в бланк.

Весь секрет в том, что клетка — это готовая линейка. Всё, что идёт по линиям сетки, считается прямо по клеткам. Всё, что идёт наискосок, достраивается до прямоугольного треугольника и находится теоремой Пифагора. Никаких сложных построений: аккуратно посчитал клетки — получил ответ.

Внутри задания 18 живут пять подтем — по типу того, что просят найти:

• Расстояние между точками и от точки до прямой — считаем по сетке и через Пифагора.
• Средняя линия — полусумма оснований треугольника или трапеции.
• Теорема Пифагора — длина любого наклонного отрезка.
• Площади — треугольника, трапеции, ромба, параллелограмма по клеткам.
• Длины сторон — сторон и диагоналей фигур.

Расстояние и длины: теорема Пифагора

Если отрезок лежит вдоль линии сетки (горизонтально или вертикально) — просто посчитай клетки. Если он идёт наискосок — достраивай прямоугольный треугольник: через один конец проведи горизонталь, через другой — вертикаль. Катеты пойдут по клеткам, а сам отрезок станет гипотенузой.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Когда прямая идёт по линии сетки, перпендикуляр к ней тоже пойдёт по сетке, и его длину считают прямо по клеткам.

Площади

Площади всех фигур из задания 18 есть в справочных материалах КИМ. На клетчатой бумаге ими особенно удобно пользоваться: все нужные длины (основания, высоты, диагонали) читаются по клеткам.

Средняя линия

Алгоритм решения

Типовые ловушки ОГЭ

Примеры решения задач

Три задачи ниже идут от простой к составной: сначала прямой подсчёт по клеткам, потом формула площади, в конце — приём с подобием.

Пример 1. Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Пример 2. Площадь трапеции

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

Пример 3. Отношение отрезков через подобие

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $BM$ короче отрезка $CM$?

Что запомнить

• Клетка — это линейка. Всё вдоль сетки считай по клеткам, всё наискосок — достраивай до прямоугольного треугольника и находи Пифагором.
• Теорема Пифагора, площади фигур и средняя линия есть в справочных материалах КИМ — пользуйся выданным листом, но умей быстро подставлять.
• Высота ≠ наклонная сторона, а в площади ромба стоят диагонали, а не стороны.
• Любую фигуру с вершинами в узлах можно разбить на прямоугольники и треугольники или достроить до прямоугольника — формулу вспоминать не обязательно.
• Формат ответа: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию из первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».

Отработка

Закрепи навык на задачах банка: все задачи типа 18.

Разбери по подтемам:

• Расстояние между точками и от точки до прямой
• Средняя линия
• Теорема Пифагора
• Площади
• Длины сторон