Кусочно-непрерывные функции

Разбираем куски

Кусок 1 ($x<2$): $y=2{,}5x-3{,}5$ — возрастающая прямая. При $x\to 2$ слева значение стремится к $2{,}5\cdot 2-3{,}5=1{,}5$, но сама точка этому куску не принадлежит. Значения куска: $y<1{,}5$, каждое ровно один раз.

Кусок 2 ($2\leqslant x\leqslant 3$): $y=-3x+7{,}5$ — убывающий отрезок с концами $(2;\,1{,}5)$ и $(3;\,-1{,}5)$, оба закрашены. Значения: отрезок $[-1{,}5;\,1{,}5]$, каждое ровно один раз. В точке $x=2$ обе формулы дают $1{,}5$ — склейка непрерывна.

Кусок 3 ($x>3$): $y=x-6$ — возрастающая прямая, при $x\to 3$ справа значение стремится к $-3$, сама точка выколота. Значения: $y>-3$. В точке $x=3$ разрыв: слева график на высоте $-1{,}5$, справа стартует от $-3$.

Переводим условия на кусок в условия на $m$

• кусок 1: $x=\dfrac{m+3{,}5}{2{,}5}$, условие $x<2$ равносильно $m<1{,}5$;
• кусок 2: $x=\dfrac{7{,}5-m}{3}$, условие $2\leqslant x\leqslant 3$ равносильно $-1{,}5\leqslant m\leqslant 1{,}5$;
• кусок 3: $x=m+6$, условие $x>3$ равносильно $m>-3$.

Складываем в таблицу

Ровно две точки — в строке $m=1{,}5$ (кусок 1 уже «отвалился», работают второй и третий) и на всём промежутке разрыва $-3<m<-1{,}5$.

Ответ: $m=1{,}5$; $-3<m<-1{,}5$.

Правый кусок: парабола

При $x\geqslant -2$ имеем $y=x^2+2x+1=(x+1)^2$ — парабола ветвями вверх с вершиной $(-1;\,0)$. Конец куска: при $x=-2$ значение $y=(-2+1)^2=1$, точка $(-2;\,1)$ закрашена. На $[-2;-1]$ функция убывает от $1$ до $0$, дальше возрастает.

Решаем $(x+1)^2=m$ при $x\geqslant -2$: корни $x=-1\pm\sqrt{m}$. Левый корень $-1-\sqrt m$ годится, только если $-1-\sqrt m\geqslant -2$, то есть $\sqrt m\leqslant 1$, то есть $m\leqslant 1$. Значит:

• $m<0$ — $0$ точек;
• $m=0$ — $1$ точка (вершина);
• $0<m\leqslant 1$ — $2$ точки;
• $m>1$ — $1$ точка.

Левый кусок: луч

При $x<-2$ имеем $y=x+6$ — возрастающая прямая, при $x\to -2$ слева значение стремится к $4$, точка $(-2;\,4)$ выколота. Значит кусок принимает все значения $y<4$ ровно по одному разу: $1$ точка при $m<4$ и $0$ точек при $m\geqslant 4$.

Складываем

Обрати внимание на границу $m=4$: луч её уже не даёт (точка выколота), поэтому промежуток в ответе строгий справа.

Ответ: $m=0$; $1<m<4$.

Раскрываем модуль

При $x\geqslant 0$: $|x|=x$, поэтому $y=x\cdot x+3x-5x=x^2-2x$ — дуга параболы ветвями вверх, вершина $(1;\,-1)$, нули $x=0$ и $x=2$.

При $x<0$: $|x|=-x$, поэтому $y=-x^2-3x-5x=-x^2-8x$ — дуга параболы ветвями вниз, вершина $(-4;\,16)$, нули $x=0$ и $x=-8$.

В точке $x=0$ обе формулы дают $0$ — дуги склеены без разрыва.

Правая дуга ($x\geqslant 0$)

$x^2-2x=m\Rightarrow x=1\pm\sqrt{1+m}$.

• $m<-1$ — корней нет;
• $m=-1$ — один корень $x=1$ (вершина);
• $-1<m\leqslant 0$ — оба корня неотрицательны, значит $2$ точки;
• $m>0$ — корень $1-\sqrt{1+m}<0$ не годится, остаётся $1$ точка.

Левая дуга ($x<0$)

$-x^2-8x=m\Rightarrow x^2+8x+m=0\Rightarrow x=-4\pm\sqrt{16-m}$.

• $m>16$ — корней нет;
• $m=16$ — один корень $x=-4$ (вершина);
• $0<m<16$ — оба корня отрицательны, значит $2$ точки;
• $m\leqslant 0$ — корень $-4+\sqrt{16-m}\geqslant 0$ не годится, остаётся $1$ точка.

Складываем

Ровно две точки — только когда прямая проходит через вершину одной из дуг.

Ответ: $m=-1$; $m=16$.

Упрощаем

Область определения: $x+2\ne 0$, то есть $x\ne -2$. В числителе $0{,}5x^2+x=0{,}5x(x+2)$, поэтому при $x\ne -2$

Раскрываем модуль

Справа — дуга параболы ветвями вверх, слева — дуга ветвями вниз, склейка в начале координат. Функция строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое своё значение принимает ровно один раз.

Учитываем выколотую точку

Точка $x=-2$ исключена. Если бы она была, её ордината равнялась бы $0{,}5\cdot(-2)\cdot|-2|=-2$. Значит, на графике выколота точка $(-2;\,-2)$.

Считаем общие точки

Из-за строгого возрастания прямая $y=m$ пересекает график ровно в одной точке при любом $m$ — кроме единственного значения $m=-2$: оно достигалось бы только при $x=-2$, а этой точки на графике нет.

Ответ: $m=-2$.