Четырёхугольники и их элементы

Находим равные стороны

Точка $L$ — середина $AB$, поэтому $AL = \tfrac12 AB$. По условию $AB = 2\,AD$, значит

Получаем равнобедренный треугольник

В треугольнике $ALD$ стороны $AL$ и $AD$ равны — он равнобедренный с основанием $LD$. Углы при основании равны:

Добавляем накрест лежащие углы

В параллелограмме $AB \parallel DC$. Прямая $DL$ — секущая, а углы $\angle ALD$ и $\angle LDC$ — накрест лежащие, поэтому

Делаем вывод

Из двух равенств получаем $\angle ADL = \angle LDC$: луч $DL$ делит угол $ADC$ на два равных угла (и проходит внутри него, так как $L$ на стороне $AB$). Значит, $DL$ — биссектриса угла $ADC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Используем свойство диагоналей

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому

Сравниваем треугольники BOP и DOQ

• $BO = DO$ (доказано выше);
• $\angle BOP = \angle DOQ$ как вертикальные углы (точки $P$, $O$, $Q$ на одной прямой, $B$, $O$, $D$ — на диагонали);
• $\angle PBO = \angle QDO$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BD$.

Делаем вывод

Треугольники $BOP$ и $DOQ$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства). Из равенства треугольников следуют равные соответственные стороны:

Что и требовалось доказать.

Ответ: $BP = DQ$.

Расстояния до AB и AD

Опустим из $M$ перпендикуляры $MP \perp AB$ и $MQ \perp AD$ — их длины и есть расстояния до прямых. Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$ (угла $BAD$), значит по свойству биссектрисы равноудалена от его сторон:

Расстояния до AD и CD

Опустим $MR \perp CD$. Точка $M$ лежит также на биссектрисе угла $D$ (угла $ADC$), стороны которого — прямые $AD$ и $CD$. По тому же свойству:

Собираем вместе

Из двух равенств получаем

то есть расстояния от $M$ до прямых $AB$, $AD$ и $CD$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $MP = MQ = MR$, точка $M$ равноудалена от трёх прямых.