Задание 19 — последнее в геометрическом блоке первой части ОГЭ. Тебе дают три утверждения про фигуры, углы, окружности, и просят выбрать номер того, которое истинно (иногда истинных оказывается несколько — тогда в ответ идут все их номера). Никаких вычислений с числами тут почти нет — проверяется, знаешь ли ты определения и свойства геометрии на уровне «правда или неправда».
Секрет в том, что это задание не на память формул, а на внимательность. Ложные утверждения тут делают хитро: берут почти правильную фразу и портят её одним словом — «всегда», «любой», «только», либо переворачивают дробь или меняют одну фигуру на другую. Твоя работа — заметить подвох и подобрать контрпример.
Как устроены ловушки
Почти все ложные утверждения в задании 19 собраны по одним и тем же шаблонам. Узнаёшь шаблон — сразу видишь, где искать ошибку.
Разбор ловушки со словом «всегда»
«Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри треугольника.»
Для остроугольного треугольника это правда. Но у тупоугольного центр описанной окружности лежит снаружи, а у прямоугольного — на середине гипотенузы (на самой стороне). Слово «всегда» разрушает утверждение — оно ложно.
Мини-справочник фактов
Вот факты, которые чаще всего проверяют. Выучи их как «правда» — тогда ложные версии будешь ловить мгновенно.
Алгоритм решения
Разбор примеров из банка
Все три задачи ниже — реальные из нашего банка ОГЭ. Приём один и тот же: отсеиваем ложные контрпримерами, оставшееся — ответ.
Пример 1. Центр вписанной окружности
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.
Проверяем утверждение 1
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту: S=ah. Формула S=21d1d2 работает только когда диагонали перпендикулярны (ромб, квадрат), а у произвольного параллелограмма это не так. Ложно.
Проверяем утверждение 2
Сумма углов любого треугольника равна 180∘. У прямоугольного треугольника 90∘ составляет сумма только двух его острых углов, а не всех трёх. Ложно.
Проверяем утверждение 3
Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Значит, точка пересечения всех трёх биссектрис (инцентр) равноудалена от всех сторон, то есть является центром вписанной окружности. Истинно.
Записываем ответ
Истинно только утверждение 3.
Ответ: 3.
Пример 2. Определение косинуса
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Проверяем утверждение 1
Диагональ AC трапеции ABCD (где BC∥AD) делит её на треугольники ABC и ACD. У них общая сторона AC, но основания BC и AD разные (у трапеции BC=AD), поэтому треугольники не равны — их площади относятся как BC:AD. Ложно.
Проверяем утверждение 2
По определению cosα=гипотенузаприлежащийкатет, а в утверждении дробь перевёрнута. К тому же косинус острого угла всегда меньше 1, а отношение гипотенузы к катету всегда больше 1. Ложно.
Проверяем утверждение 3
Это дословно определение окружности: она состоит из всех точек, удалённых от центра ровно на радиус. Истинно.
Записываем ответ
Истинно только утверждение 3.
Ответ: 3.
Пример 3. Слово «всегда» и «только одна прямая»
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров. Внутри треугольника она лежит только у остроугольного; у прямоугольного — на середине гипотенузы, у тупоугольного — вне треугольника. Слово «всегда» делает высказывание ложным.
Проверяем утверждение 2
Через одну точку проходит бесконечно много прямых. Единственную прямую задают две различные точки. Ложно.
Проверяем утверждение 3
Ромб — частный случай параллелограмма, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, для точки пересечения O диагоналей ромба ABCD верно AO=OC и BO=OD. Истинно.
Записываем ответ
Истинно только утверждение 3.
Ответ: 3.
Стратегия на экзамене
Отработка
Разбор — это половина дела. Закрепи навык на живых задачах банка:
Коллекция по теме «Анализ геометрических высказываний»:topic-analiz-vyskazyvaniy-19-oge
Прорешай подряд 10–15 штук: цель — чтобы к слову «всегда» рука сама тянулась искать контрпример, а перевёрнутую дробь в определении синуса ты замечал с первого взгляда.
