Задание 24: Геометрические задачи на доказательство

Находим равный угол

Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$. Диагональ $BD$ — секущая для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:

Проверяем пропорциональность сторон

Угол $CBD$ заключён между сторонами $BC$ и $BD$, а равный ему угол $BDA$ — между сторонами $DB$ и $DA$. Сравним отношения:

Значит, $\dfrac{BC}{BD} = \dfrac{BD}{DA}$.

Делаем вывод

Треугольники $CBD$ и $BDA$ имеют равный угол, заключённый между пропорциональными сторонами. По второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними):

Что и требовалось доказать.

Ответ: треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (коэффициент подобия $1:4$).

Замечаем равные углы на один отрезок

Рассмотрим отрезок $CB$. Из вершины $A$ он виден под углом $\angle CAB$, а из вершины $D$ — под углом $\angle CDB$. По условию эти углы равны. Поскольку $ABCD$ выпуклый, точки $A$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$.

Доказываем, что четыре точки лежат на окружности

Если две точки лежат по одну сторону от отрезка и видят его под равными углами, то они лежат на одной окружности, проходящей через концы отрезка (обратная теорема о вписанном угле). Значит, точки $A$ и $D$ лежат на окружности, проходящей через $B$ и $C$, то есть все четыре точки $A,\,B,\,C,\,D$ лежат на одной окружности — $ABCD$ вписанный.

Переходим к другой хорде

Рассмотрим теперь хорду $AB$. Углы $\angle BCA$ (вершина $C$) и $\angle BDA$ (вершина $D$) — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $AB$ ($C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$, так как $AB$ — сторона выпуклого четырёхугольника). Вписанные углы на одну дугу равны:

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство углов $BCA$ и $BDA$ доказано.

Отмечаем прямые углы

Так как $AA_1$ и $CC_1$ — высоты, то

Строим окружность на диаметре AC

Точка лежит на окружности с диаметром $AC$ тогда и только тогда, когда отрезок $AC$ виден из неё под прямым углом. Отрезок $AC$ виден под углом $90^\circ$ и из точки $A_1$, и из точки $C_1$. Значит, точки $A_1$ и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $AC$, то есть все четыре точки $A,\,C_1,\,A_1,\,C$ лежат на одной окружности.

Приравниваем вписанные углы

Треугольник остроугольный, поэтому основания высот лежат на самих сторонах, и точки $A$ и $C_1$ лежат по одну сторону от хорды $CA_1$. Углы $\angle CC_1A_1$ (вершина $C_1$) и $\angle CAA_1$ (вершина $A$) — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $CA_1$. Вписанные углы на одну дугу равны:

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство углов $CC_1A_1$ и $CAA_1$ доказано.