В конспекте по всему заданию 14 ты уже видел: любая задача сводится к арифметической или геометрической прогрессии. Здесь разберём только геометрическую — и разберём глубже, потому что именно она даёт самые «пугающие» на вид сюжеты: распад изотопа, размножение бактерий, отскоки мячика, проценты по вкладу. На самом деле за всеми ними одна короткая идея.
Геометрическая прогрессия — это когда каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же числоq (знаменатель). Не прибавлением, как в арифметической, а именно умножением. Как только ты слышишь «уменьшается вдвое», «увеличивается в 3 раза», «растёт на 8% каждый год» — перед тобой геометрия.
Две формулы этого топика
Обе формулы есть в справочных материалах КИМ — на экзамене их выдают на отдельном листе. Учить наизусть не обязательно, но надо без запинки понимать, что куда подставлять.
Главный приём: считай шаги, а не время
Почти все сюжеты этого топика устроены одинаково: величина меняется в q раз не каждую минуту, а каждые несколько минут (или лет, или прыжков). Поэтому сначала находят, сколько раз произошло умножение, и только это число ставят в показатель.
Типовые ловушки
Разбор примеров
Все три задачи — из нашего банка ОГЭ: рост колонии (q>1), распад с дробным ответом (q<1) и «пороговая» задача про мячик.
Пример 1. Колония микроорганизмов
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Тип и данные
Масса каждые 30 минут умножается на 3 — геометрическая прогрессия. Первый член b1=13 мг, знаменатель q=3.
Число шагов
n=3090=3умноженияна3.
Считаем
m=13⋅33=13⋅27=351мг.
Проверка цепочкой
13→39→117→351 — через 30, 60, 90 минут. Сходится.
Ответ: 351.
Пример 2. Распад изотопа
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Тип и данные
Масса каждые 9 минут умножается на 21 — геометрическое убывание. b1=320 мг, q=21.
Число шагов
n=963=7деленийпополам.
Считаем
Масса уменьшится в 27=128 раз:
m=27320=128320=2,5мг.
Формат
Ответ дробный — записываем через запятую: 2,5 (не «2.5» и не дробь).
Ответ: 2,5.
Пример 3. Отскоки мячика
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?
Тип и данные
Каждая высота в 3 раза меньше предыдущей — геометрическая прогрессия с q=31. Первый член b1=6,3 м. Порог — 25 см.
Приводим к одним единицам
Переведём высоты в сантиметры: b1=6,3 м =630 см.
Считаем высоты по шагам
Здесь не время, а номера прыжков — идём по формуле bn=b1⋅qn−1 и сравниваем с 25 см:
b1=630 см — выше 25;
b2=210 см — выше 25;
b3=70 см — выше 25;
b4=370≈23,3 см — впервые ниже25.
Вывод
Первые три прыжка выше порога, а на четвёртом мячик впервые не достигает 25 см.
