Задание 20: Уравнения, неравенства и их системы

Собираем всё влево

Перенесём слагаемые из правой части, чтобы справа остался ноль:

Группируем и выносим множители

Разобьём на две пары и вынесем общий множитель из каждой:

Применяем разность квадратов

$x^{2}-9 = (x-3)(x+3)$ — это ФСУ из справочных материалов. Уравнение принимает вид

Приравниваем каждый множитель к нулю

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

Проверка: при $x=3$ левая часть $27+36=63$, правая $27+36=63$ — сходится (остальные корни проверяются так же).

Ответ: $-4;\ -3;\ 3$.

Переносим всё в одну часть

Область определения: $x \ne 0$ (на ноль делить нельзя). Переносим дробь влево и приводим к общему знаменателю:

Раскладываем числитель

По формуле разности квадратов $x^2 - 64 = (x-8)(x+8)$:

Отмечаем точки на прямой

Нули числителя $x=-8$ и $x=8$, точка разрыва $x=0$. Расставим знаки выражения по промежуткам:

• при $x < -8$: $\dfrac{(-)(-)}{(-)} = (-)$ — подходит;

• при $-8 < x < 0$: $\dfrac{(-)(+)}{(-)} = (+)$ — не подходит;

• при $0 < x < 8$: $\dfrac{(-)(+)}{(+)} = (-)$ — подходит;

• при $x > 8$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+)$ — не подходит.

Собираем ответ

Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя $x=-8$ и $x=8$ включаем (квадратные скобки), а точку разрыва $x=0$ исключаем (круглая скобка).

Ответ: $(-\infty;\ -8] \cup (0;\ 8]$.

Складываем уравнения

Сложим уравнения почленно — переменная $y$ взаимно уничтожается:

Находим x

Важно: корня два, не забудь про минус.

Находим y для каждого x

Из первого уравнения $y = 5 - x^2$. Так как $x^2 = 1$ при обоих значениях, то

То есть оба значения $x$ дают одно и то же $y=4$.

Проверка: при $x=1,\ y=4$: $1+4=5$ и $6-4=2$ — верно; при $x=-1,\ y=4$: то же самое, ведь $x^2=1$.

Ответ: $(-1;\,4)$, $(1;\,4)$.