Квадратные неравенства

Квадратные неравенства (Задание 13)

Это один из трёх сюжетов задания 13, и, пожалуй, самый «геометрический» из них: чтобы его решить, ты в голове (или на черновике) рисуешь параболу и смотришь, где она выше оси, а где ниже. В отличие от линейного неравенства, здесь у выражения не один «поворот знака», а два — потому что у квадратного трёхчлена бывает два корня. Значит, и ответ бывает двух видов: либо отрезок между корнями, либо два луча вне корней. Научишься различать эти два случая — и половина задания уже в кармане.

Общий разбор задания 13 и его соседних сюжетов (линейные неравенства, системы) — в конспекте типа. Здесь мы копаем только квадратные: как быстро найти корни, как по знаку старшего коэффициента снять знаки и как не перепутать «между» и «вне».

Как выглядит квадратное неравенство в задании 13

Тебе попадётся выражение вида $ax^2+bx+c$ со знаком $>$, $<$, $\leqslant$ или $\geqslant$. На ОГЭ почти всегда встречаются три удобные заготовки, и корни в них ищутся устно:

Эта формула сокращённого умножения есть в справочных материалах КИМ — лист с ней лежит на парте на самом экзамене. Наизусть держать не обязательно, но узнавать её в неравенстве надо мгновенно: почти все квадратные неравенства задания 13 — именно такого вида ($x^2-25$, $x^2-49$, $x^2-36$).

И дискриминант, и формула корней есть в справочных материалах КИМ. Там же лежит разложение трёхчлена на множители $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ и формула вершины параболы $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ — на экзамене всё это под рукой.

Ветви параболы решают всё

Найти корни — полдела. Дальше нужно понять, где выражение больше нуля, а где меньше. Это определяет знак старшего коэффициента $a$ (число перед $x^2$).

Разбор примеров

Пример 1. Отрезок между корнями

Укажите решение неравенства

$x^2-49<0$.

Пример 2. Ветви вниз

Укажите решение неравенства

$6x-x^2>0$.

Пример 3. Выбор неравенства по рисунку

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1. $x^2-36\leqslant 0$
2. $x^2+36\geqslant 0$
3. $x^2-36\geqslant 0$
4. $x^2+36\leqslant 0$

Отработка

Прорешай задачи этого типа целиком: задачи типа 13.

Узкая подборка ровно по этому подвиду — коллекция topic-kvadratnye-neravenstva-13-oge.