Задание 9: Уравнения, системы уравнений

Уравнения, системы уравнений (Задание 9)

Задание 9 — это чистая алгебра без картинок и текста «про жизнь»: тебе дают уравнение, ты решаешь его и записываешь в бланк один ответ — число. Никаких пояснений и промежуточных выкладок в бланк писать не нужно, проверяется только итоговое число. Поэтому цена ошибки высокая: перепутал знак — потерял весь балл, хотя метод выбрал правильно.

Почти всегда тебе попадётся одно из двух: линейное уравнение (все иксы в первой степени) или квадратное уравнение (есть $x^2$). Реже — простое дробно-рациональное, которое сводится к квадратному. Разберём оба главных типа так, чтобы ты узнавал их с первого взгляда и решал на автомате.

Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение, которое после раскрытия скобок и приведения подобных сводится к виду $ax = b$, где $x$ стоит только в первой степени. Топик: Линейные уравнения.

Весь фокус в том, чтобы аккуратно добраться до вида $ax = b$: раскрыть скобки, перенести слагаемые с $x$ в одну часть, а числа — в другую (при переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный).

Пример 1. Линейное уравнение со скобками

Решите уравнение $2(x-6)-x=6$.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Здесь есть $x^2$ — это главный опознавательный признак. Топик: Квадратные уравнения.

Неполные квадратные уравнения

Если $b = 0$ или $c = 0$, дискриминант обычно не нужен — есть путь короче.

Пример 2. Неполное уравнение и выбор корня

Решите уравнение $x^{2}=5x$.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Пример 3. Разность квадратов

Решите уравнение $x^{2}-9=0$.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Типовые ловушки задания 9

Что запомнить

• Увидел $x^2$ — это квадратное уравнение; нет $x^2$ — линейное.
• Линейное: раскрой скобки $\to$ собери иксы слева, числа справа $\to$ раздели на коэффициент.
• Квадратное полное: дискриминант $D = b^2 - 4ac$, дальше по формуле корней (обе — в справочном листе).
• Квадратное неполное: $ax^2 + bx = 0$ решай вынесением $x$; $ax^2 + c = 0$ — через $x^2 = -\dfrac{c}{a}$ и знак $\pm$.
• Всегда перечитай, какой корень просят записать, и проверь формат ответа.

Отработка

Закрепи навык на реальных задачах банка — реши подряд десяток, пока метод не станет автоматическим:

• Все задачи типа: Задание 9 — уравнения
• Подборка по топику: Линейные уравнения
• Подборка по топику: Квадратные уравнения