Задание 16 — вторая геометрическая задача первой части ОГЭ. Тебе дают чертёж с окружностью и просят найти угол, длину, радиус или площадь. Как и в задании 15, решение почти всегда занимает одно-два действия — надо лишь узнать на картинке знакомую конфигурацию и вспомнить один факт про окружность.
Разберём подтемы, которые встречаются в этом задании: центральные и вписанные углы, касательная, хорда, секущая и радиус, окружность, вписанная в многоугольник, и окружность, описанная вокруг многоугольника. Все они держатся на нескольких простых свойствах, которые мы сейчас и соберём.
Длина окружности и площадь круга
Две базовые формулы, с которых начинается тема.
Центральные и вписанные углы
Это самая частая подтема задания 16. Всё строится на связи двух углов, опирающихся на одну и ту же дугу.
Свойства центрального и вписанного углов в справочном листе КИМ не приводятся — это теоремы, их надо знать. Но помнить придётся всего одно правило: центральный вдвое больше вписанного на ту же дугу.
Касательная, хорда, секущая и радиус
Окружность, вписанная в многоугольник
Вписанная окружность лежит внутри фигуры и касается всех её сторон. Центр — в точке пересечения биссектрис углов.
Окружность, описанная вокруг многоугольника
Описанная окружность проходит через все вершины фигуры. Центр — в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Алгоритм решения
Типовые ловушки
Примеры решения задач
Три задачи ниже покрывают три разные подтемы: угол, вписанную и описанную окружность.
Пример 1. Вписанный и центральный угол
Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 23∘. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Переводим вписанный угол в центральный
Точки A, B, C лежат на окружности, поэтому ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол ∠AOB опирается на ту же дугу, значит он вдвое больше:
∠AOB=2⋅∠ACB=2⋅23∘=46∘.
Используем, что BD — диаметр
Точки B, O, D лежат на одной прямой (диаметр BD), поэтому углы ∠AOB и ∠AOD — смежные и в сумме дают 180∘:
∠AOD=180∘−∠AOB=180∘−46∘=134∘.
Ответ
Ответ: 134.
Пример 2. Квадрат, описанный около окружности
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 9.
Связываем сторону с радиусом
Если квадрат описан около окружности, то окружность вписана в квадрат и касается всех его сторон. Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата:
a=2R=2⋅9=18.
Считаем площадь
S=a2=182=324.
Ответ
Ответ: 324.
Пример 3. Прямоугольник, вписанный в окружность
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.
Диагональ — это диаметр
Прямоугольник ABCD вписан в окружность. Угол ∠ABC=90∘ опирается на диагональ AC, значит AC — диаметр: AC=5.
Находим стороны
В прямоугольном треугольнике ABC (прямой угол при B) пусть ∠BAC — угол между стороной AB и диагональю AC, sin∠BAC=0,8. Тогда противолежащий катет:
BC=AC⋅sin∠BAC=5⋅0,8=4.
Вторую сторону найдём по теореме Пифагора:
AB=AC2−BC2=25−16=3.
Считаем площадь
S=AB⋅BC=3⋅4=12.
Ответ
Ответ: 12.
Что запомнить
Углы на одну дугу: центральный =2× вписанного; угол на диаметр =90∘.
Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; две касательные из точки равны.
Вписанная окружность касается сторон (для квадрата a=2r); описанная проходит через вершины (диагональ прямоугольника =2R).
Из справочного листа: длина окружности C=2πR, площадь круга S=πR2, площади фигур и теорема Пифагора. Свойства углов — учить наизусть.
Цель — довести узнавание конфигураций до автоматизма: увидел диаметр — вспомнил про прямой угол, увидел касательную — провёл радиус. Тогда задание 16 будет приносить стабильный балл за минуту.
