Треугольники и их элементы

Где основания высот

Угол $ABC$ тупой, поэтому основания высот из $A$ и $C$ падают на продолжения сторон за вершину $B$: точка $A_1$ — на продолжении $CB$, точка $C_1$ — на продолжении $AB$.

Вспомогательное подобие прямоугольных треугольников

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABA_1$ ($\angle A_1 = 90^\circ$) и $CBC_1$ ($\angle C_1 = 90^\circ$). Углы $\angle ABA_1$ и $\angle CBC_1$ — оба смежные с $\angle ABC$, поэтому равны:

Значит, $\triangle ABA_1 \sim \triangle CBC_1$ (по двум углам), откуда

Равный угол между этими сторонами

Луч $BA_1$ дополнителен к лучу $BC$, а $BC_1$ — к лучу $BA$, поэтому углы $A_1BC_1$ и $ABC$ вертикальные:

Вывод

В треугольниках $A_1BC_1$ и $ABC$ стороны при вершине $B$ пропорциональны, а углы между ними равны. По второму признаку подобия

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано; треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними.

Прямые углы на отрезок AB

Высоты дают $\angle AA_1B = 90^\circ$ (из $A_1$) и $\angle AB_1B = 90^\circ$ (из $B_1$). Отрезок $AB$ виден из точек $A_1$ и $B_1$ под прямым углом.

Четыре точки на одной окружности

Значит, $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB$. Вместе с $A$ и $B$ получаем четыре точки $A,\,B,\,A_1,\,B_1$ на одной окружности.

Равные вписанные углы

Треугольник остроугольный, поэтому основания $A_1$ и $B_1$ лежат на сторонах, и точки $A$ и $B_1$ — по одну сторону от хорды $BA_1$. Углы $\angle AA_1B_1$ (вершина $A_1$) и $\angle ABB_1$ (вершина $B$) — вписанные, опирающиеся на одну дугу $BA_1$. Вписанные углы на одну дугу равны:

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство углов $AA_1B_1$ и $ABB_1$ доказано.

Выбираем диаметр

Высоты проведены из вершин $B$ и $C$, поэтому диаметром станет соединяющая их сторона $BC$. Высоты дают $\angle BB_1C = 90^\circ$ и $\angle BC_1C = 90^\circ$ — отрезок $BC$ виден из $B_1$ и $C_1$ под прямым углом.

Окружность на диаметре BC

Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $BC$, значит четыре точки $B,\,C,\,B_1,\,C_1$ на одной окружности.

Равные вписанные углы

Треугольник остроугольный: основания высот на сторонах, точки $B$ и $C_1$ — по одну сторону от хорды $CB_1$. Углы $\angle CC_1B_1$ и $\angle CBB_1$ — вписанные, опирающиеся на одну дугу $CB_1$, поэтому

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство углов $CC_1B_1$ и $CBB_1$ доказано.