Касательная, хорда, секущая, радиус

Касательная, хорда, секущая, радиус (Задание 16)

В задании 16 эта подтема — про сами «линии» окружности: радиус, хорду, касательную и секущую, и про то, как они друг с другом связаны. В отличие от задач на углы, здесь чертёж почти всегда прячет прямой угол или равнобедренный треугольник из двух радиусов — узнал его, дорисовал недостающий отрезок, и дальше всё считается по теореме Пифагора или сумме углов.

Разберёмся, что это за линии и какие три-четыре свойства вытягивают почти любую задачу этого подвида.

Касательная и радиус

Главное свойство всей темы. Провёл радиус в точку касания — получил прямой угол, а вместе с ним прямоугольный треугольник.

Хорда и радиус

Радиус, проведённый в середину хорды, «складывает» её пополам и делает прямой угол — это второй рабочий инструмент темы.

Алгоритм решения

Типовые ловушки

Примеры решения задач

Задачи ниже — из банка. Все три держатся на радиусе: как расстоянии до точки касания, как половине диаметра и как радиусе описанной окружности.

Пример 1. Радиус вписанной окружности

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна $24$, а $\tg\angle BCA = 0{,}75$. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пример 2. Хорда, проходящая через центр

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $33^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Пример 3. Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $10\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

Что запомнить

• Радиус в точку касания $\perp$ касательной; две касательные из одной точки равны. В справочном листе этого нет — учи наизусть.
• Два радиуса всегда дают равнобедренный треугольник ($OA = OB = R$).
• Радиус $\perp$ хорде делит её пополам: полухорда, расстояние до центра и радиус — прямоугольный треугольник, добиваешь теоремой Пифагора.
• Из справочного листа: теорема Пифагора, теорема синусов $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$, тригонометрия прямоугольного треугольника.

Отработка

Прорешай все задачи этого типа в банке: задачи типа 16.

Подборка именно по этой подтеме: Касательная, хорда, секущая, радиус.

Цель — довести узнавание до автоматизма: увидел касательную — сразу проводи радиус в точку касания и ищи прямой угол; увидел хорду — опусти на неё перпендикуляр из центра. Тогда задание 16 будет приносить стабильный балл за минуту.