Задание 14 — это короткая текстовая задача, которую всегда можно свести к одной из двух числовых последовательностей: арифметической или геометрической прогрессии. За рядами кресел в амфитеатре, распадом изотопа или вкладом в банке прячется одна и та же математика: числа идут по строгому правилу, и по этому правилу можно найти любой член или сумму сразу нескольких.
Хорошая новость: все нужные формулы выданы тебе прямо на экзамене — они есть в справочных материалах КИМ. Значит, зубрить их наизусть не обязательно, но надо уверенно понимать, что в них подставлять. Разберёмся, как отличать один тип прогрессии от другого и как за минуту получить ответ.
Внутри задания встречаются две под-темы:
Арифметическая прогрессия — каждый следующий член больше или меньше предыдущего на одно и то же число (разность d).
Геометрическая прогрессия — каждый следующий член в одно и то же число раз больше или меньше предыдущего (знаменатель q).
Как отличить прогрессии друг от друга
Арифметическая прогрессия
Задаётся первым членом a1 и разностью d. Каждый следующий член: an=an−1+d.
Геометрическая прогрессия
Задаётся первым членом b1 и знаменателем q. Каждый следующий член: bn=bn−1⋅q.
Алгоритм решения
Типовые ловушки ОГЭ
Разбор примеров
Три задачи ниже — прямо из нашего банка ОГЭ. Первая на арифметическую сумму, вторая и третья — на геометрическое убывание с разным числом этапов.
Пример 1. Места в амфитеатре
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Определяем тип и данные
Число мест растёт на одно и то же значение — это арифметическая прогрессия. Первый член a1=16, разность d=3, число рядов (членов) n=11. Нужна сумма всех мест.
Выбираем формулу суммы
Последний член пока не знаем, зато знаем a1 и d — берём вторую формулу суммы:
Sn=22a1+(n−1)d⋅n
Подставляем значения
S11=22⋅16+(11−1)⋅3⋅11=232+30⋅11
Досчитываем
S11=262⋅11=31⋅11=341
Ответ: 341.
Пример 2. Распад изотопа
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Определяем тип и данные
Масса каждый раз умножается на одно и то же число 21 — это геометрическая прогрессия. Первый член b1=160 мг, знаменатель q=21.
Считаем число этапов
За 28 минут при шаге 7 минут масса делится пополам
n=728=4раза.
Применяем убывание
m=b1⋅qn=160⋅(21)4=16160=10мг.
Проверяем по шагам
160→80→40→20→10 — как раз через 7, 14, 21, 28 минут. Сходится.
Ответ: 10.
Пример 3. Тот же распад, другой шаг
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
