Гиперболы

Упрощаем

Разложим знаменатель: $x^2-3x=x(x-3)$. Тогда

Сокращать на $(x-3)$ можно при $x\ne 3$, а дробь определена при $x\ne 0$. Значит, область определения: $x\ne 0$ и $x\ne 3$.

Строим график

Это гипербола $y=\dfrac1x$ с выколотой точкой при $x=3$. Её ордината $y=\dfrac13$, то есть выколота точка $\left(3;\ \dfrac13\right)$.

Пересекаем с прямой $y=kx$

При $k\leqslant 0$ решений нет. При $k>0$ — два корня $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt k}$, две точки на гиперболе.

Отбираем «ровно одну»

Одна из двух точек должна попасть в дырку $x=3$. Положительный корень: $\dfrac{1}{\sqrt k}=3\Rightarrow\sqrt k=\dfrac13\Rightarrow k=\dfrac19$. Отрицательный корень равен $3$ быть не может. При $k=\dfrac19$ корни $x=\pm3$, точка $x=3$ выколота — остаётся ровно одна общая точка $\left(-3;-\dfrac13\right)$.

Ответ: $k=\dfrac19$.

Упрощаем

Так как $x^2=|x|^2$, знаменатель $|x|-3x^2=|x|(1-3|x|)$. Числитель $3|x|-1=-(1-3|x|)$. Тогда

Знаменатель ноль при $x=0$ и $|x|=\dfrac13$, поэтому $x\ne 0$ и $x\ne\pm\dfrac13$.

Строим график

Функция чётная, график симметричен относительно $Oy$ и весь лежит ниже оси $Ox$. Выколоты две точки: при $x=\pm\dfrac13$ ордината $y=-\dfrac{1}{1/3}=-3$, то есть $\left(\dfrac13;-3\right)$ и $\left(-\dfrac13;-3\right)$.

Пересекаем с прямой $y=kx$

При $x>0$: $kx=-\dfrac1x\Rightarrow x^2=-\dfrac1k$ — корень есть только при $k<0$. При $x<0$: $kx=\dfrac1x\Rightarrow x^2=\dfrac1k$ — корень есть только при $k>0$. Значит, при любом $k\ne 0$ пересечение ровно одно.

Когда общих точек нет

• $k=0$: прямая $y=0$ (ось $Ox$), а график всюду ниже неё — точек нет.

• Единственное пересечение выколото. При $k<0$: точка $x=\dfrac13\Rightarrow -3=k\cdot\dfrac13\Rightarrow k=-9$. При $k>0$: точка $x=-\dfrac13\Rightarrow -3=k\cdot\left(-\dfrac13\right)\Rightarrow k=9$.

При остальных $k$ пересечение лежит на графике.

Ответ: $k=-9;\ k=0;\ k=9$.

Упрощаем

$x^2+5x=x(x+5)$, дробь определена при $x\ne 0$ и $x\ne -5$. Сокращаем:

Строим график

Гипербола $y=-\dfrac1x$, поднятая на $5$ вверх; асимптоты $x=0$ и $y=5$. Точка $x=-5$ выколота: $y=5-\dfrac{1}{-5}=5{,}2$, то есть выколота $(-5;\ 5{,}2)$.

Пересекаем с прямой $y=m$

• $m=5$: уравнение $\dfrac1x=0$ решений не имеет — прямая совпадает с горизонтальной асимптотой, общих точек нет.

• $m\ne 5$: единственное $x=\dfrac{1}{5-m}$. Оно даёт точку, кроме случая, когда попадает в дырку: $\dfrac{1}{5-m}=-5\Rightarrow 5-m=-0{,}2\Rightarrow m=5{,}2$.

При остальных $m$ прямая пересекает график в одной точке.

Ответ: $m=5;\ m=5{,}2$.