Задание 23 открывает геометрический блок второй части ОГЭ — той части, где мало написать ответ, надо показать полное решение с обоснованием. Но пугаться не стоит: 23-е задание самое дружелюбное из трёх геометрических (23–25). Это задача на вычисление — тебе дают фигуру с числами и просят найти длину, угол или площадь. Никаких хитрых доказательств, как в 24-м или 25-м: чаще всего всё сводится к одной-двум школьным формулам и аккуратной арифметике.
Весь секрет в том, чтобы узнать в условии знакомую конструкцию. Прямоугольный треугольник — значит, работает теорема Пифагора. Две параллельные прямые и пересекающиеся отрезки — почти наверняка подобие. Хорда и центр окружности — сразу вспоминай про перпендикуляр из центра. Ниже разберём все четыре сюжета, которые встречаются в задании 23.
Подтемы этого типа:
Углы (oge-math-topic-ugly-23) — сумма углов, вписанные и центральные углы, углы между хордами и касательными.
Треугольники (oge-math-topic-treugolniki-23) — Пифагор, площадь, подобие, средняя линия.
Четырёхугольники (oge-math-topic-chetyrehugolniki-23) — параллелограмм, ромб, трапеция, их высоты и площади.
Большинство этих формул есть в справочных материалах, которые тебе выдадут на самом экзамене вместе с вариантом. Учить их наизусть до буквы не обязательно — но надо мгновенно понимать, какую из них применить.
Следующие факты в справочный лист не входят — их надо знать твёрдо, потому что именно на них строятся «хитрые» задачи 23.
Как подступиться к задаче
Разбор задач из банка
Три примера ниже — реальные задачи нашего банка ОГЭ, по одной на каждый ключевой сюжет: четырёхугольник, подобие, окружность.
Пример 1. Высота ромба через Пифагор
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=21 и CH=8. Найдите высоту ромба.
Находим сторону ромба
У ромба все стороны равны, значит AD=CD. Точка H лежит на стороне CD между C и D, поэтому
AD=CD=DH+CH=21+8=29.
Выделяем прямоугольный треугольник
Высота AH перпендикулярна стороне CD, поэтому треугольник ADH — прямоугольный с прямым углом при вершине H. Его гипотенуза — сторона ромба AD=29, один катет — DH=21, а второй катет — искомая высота AH.
Применяем теорему Пифагора
AH=AD2−DH2=292−212=841−441=400=20.
Ответ: 20.
Пример 2. Подобие при параллельных прямых
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=16, DC=24, AC=25.
Ищем подобные треугольники
Так как AB∥DC, а прямая AC — секущая, накрест лежащие углы равны: ∠BAM=∠DCM. Углы ∠AMB и ∠CMD равны как вертикальные. Значит, треугольники ABM и CDMподобны по двум углам (вершине A отвечает C, вершине B — D).
Записываем коэффициент подобия
k=DCAB=2416=32.
Сходственные стороны AM и CM относятся так же: CMAM=32.
Решаем уравнение
Точка M лежит на отрезке AC, поэтому AM+MC=AC=25. Обозначим MC=x, тогда AM=32x:
32x+x=25⇒35x=25⇒x=15.
Ответ: 15.
Пример 3. Расстояние от центра до хорды
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=14, CD=48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.
Ключевой факт
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Значит, центр O, середина хорды и её конец образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой R (радиус).
Находим радиус по хорде AB
Пусть M — середина AB. Тогда OM=24, а AM=2AB=214=7. По теореме Пифагора в треугольнике OMA:
R2=OM2+AM2=242+72=576+49=625,R=25.
Находим расстояние до хорды CD
Пусть N — середина CD, тогда CN=248=24, а гипотенуза OC=R=25:
ON2=R2−CN2=252−242=625−576=49,ON=7.
Ответ: 7.
Что запомнить
Задание 23 — на вычисление: узнал конструкцию, применил формулу, оформил с обоснованием.
Прямой угол или высота →теорема Пифагора или площадь. Параллельные прямые →подобие. Хорда/касательная →прямоугольный треугольник с радиусом-гипотенузой.
Многие формулы есть в справочном листе — пользуйся им, но Пифагор, площади и свойства окружности держи в голове.
Полное решение с пояснениями = 2 балла, а эти 2 балла закрывают геометрический порог отметки.
