Это один из четырёх сюжетов задания 21 — и, пожалуй, самый узнаваемый. Как только в условии появляются слова «по течению», «против течения», «баржа», «теплоход», «плот» или «моторная лодка» — ты в задаче на движение по воде. Здесь почти всегда получается дробное уравнение, которое сводится к квадратному, поэтому решение выходит длиннее, чем в задачах на движение по прямой. Зато и структура у них очень типовая: разобравшись с двумя-тремя, ты будешь щёлкать их по шаблону.
Главная идея топика — у лодки две скорости складываются или вычитаются. Есть собственная скорость (скорость в неподвижной, стоячей воде) и скорость течения реки. По течению река помогает — скорости складываются; против течения мешает — вычитаются. Всё остальное — та же связь «путь = скорость × время», что и в обычном движении.
Опорные формулы топика
Общую формулу s=v⋅t и «золотой треугольник» мы разобрали в конспекте задания 21 — тут они тоже работают. Ниже только то, что специфично для воды.
Три сюжета движения по воде
Уравнение всегда собирается из времени. Отличается только то, что известно про время.
Алгоритм решения
Типовые ловушки ОГЭ
Разбор задач
Три задачи из нашего банка — по одной на каждый сюжет.
Пример 1. Туда и обратно за общее время
Баржа прошла по течению реки 88 км и, повернув обратно, прошла ещё 72 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Вводим неизвестное
Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч, причём x>5. Тогда по течению скорость x+5, против течения — x−5.
Составляем уравнение (сюжет 1)
Время по течению — x+588 ч, против течения — x−572 ч, вместе 10 часов:
x+588+x−572=10.
Избавляемся от дробей
Умножим на (x+5)(x−5)=x2−25:
88(x−5)+72(x+5)=10(x2−25),
160x−80=10x2−250.
Решаем квадратное уравнение
Приводим к стандартному виду и делим на 10:
x2−16x−17=0.
Дискриминант D=256+68=324, D=18:
x1=216+18=17,x2=216−18=−1.
Отбираем корень
Скорость положительна и больше 5, поэтому x=−1 не подходит. Остаётся x=17.
Проверка: 2288+1272=4+6=10 ч — верно.
Ответ: 17.
Пример 2. Разница времён
Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Вводим неизвестное
Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна x км/ч, x>5. Против течения скорость x−5, по течению — x+5.
Составляем уравнение (сюжет 2)
Путь против течения занял x−5208 ч, обратный (по течению) — x+5208 ч. Обратный на 5 часов короче, значит из большего времени вычитаем меньшее:
x−5208−x+5208=5.
Избавляемся от дробей
Общий знаменатель (x−5)(x+5)=x2−25. В числителе:
208(x+5)−208(x−5)=208⋅10=2080,
x2−252080=5.
Решаем уравнение
5(x2−25)=2080,x2−25=416,x2=441.
Отсюда x=21 (корень x=−21 не подходит: скорость положительна).
Проверка: 16208−26208=13−8=5 ч — верно.
Ответ: 21.
Пример 3. Плот и лодка
Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Время движения плота
Плот плывёт со скоростью течения, то есть 5 км/ч. К моменту возвращения лодки в А плот проплыл 30 км, значит с отправления плота прошло
tплота=530=6ч.
Время движения лодки
Лодка вышла на час позже плота и вернулась в А в тот же момент, поэтому была в пути
tлодки=6−1=5ч.
Составляем уравнение (сюжет 3)
Пусть v — собственная скорость лодки, v>5. По течению скорость v+5, против — v−5. Туда и обратно по 60 км за 5 часов:
v+560+v−560=5.
Решаем уравнение
Умножим на (v+5)(v−5)=v2−25:
60(v−5)+60(v+5)=5(v2−25),
120v=5v2−125,v2−24v−25=0.
По теореме Виета v1=25, v2=−1. Отрицательный корень не подходит, значит v=25.
Проверка: 3060+2060=2+3=5 ч — верно.
Ответ: 25.
Отработка
Разобрал теорию — закрепи на реальных вариантах ОГЭ из банка.
