Окружности и их элементы

Центр E равноудалён от C и D

Точки $C$ и $D$ лежат на окружности с центром $E$, поэтому $EC$ и $ED$ — её радиусы:

Значит, $E$ равноудалена от концов отрезка $CD$ и лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Центр F тоже равноудалён от C и D

Аналогично $C$ и $D$ лежат на окружности с центром $F$, поэтому

и точка $F$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$.

Прямая EF — серединный перпендикуляр

Окружности пересекаются в двух разных точках, поэтому их центры различны: $E \neq F$. Через две различные точки проходит единственная прямая, значит прямая $EF$ совпадает с серединным перпендикуляром к $CD$. По определению серединный перпендикуляр перпендикулярен отрезку, поэтому

Что и требовалось доказать.

Ответ: прямые $CD$ и $EF$ перпендикулярны.

Отмечаем точки касания и прямые углы

Пусть касательная касается окружности с центром $P$ в точке $A$, окружности с центром $Q$ — в точке $B$, а отрезок $PQ$ пересекает её в точке $M$, причём $PM:MQ = a:b$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому

Доказываем подобие треугольников

Касательная внутренняя, значит окружности (и их центры $P$, $Q$) лежат по разные стороны от неё, а точка $M$ — между $P$ и $Q$. Углы $\angle AMP$ и $\angle BMQ$ — вертикальные, поэтому равны. Вместе с равными прямыми углами получаем подобие по двум углам:

Переходим к отношению диаметров

Из подобия соответственные стороны пропорциональны:

Но $PA$ и $QB$ — радиусы окружностей. Диаметры вдвое больше радиусов, поэтому их отношение такое же:

Что и требовалось доказать.

Ответ: диаметры окружностей относятся как $a:b$.

Замечаем равные углы на отрезок AB

Точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ (в выпуклом четырёхугольнике вся фигура — по одну сторону от прямой, содержащей его сторону $AB$). Отрезок $AB$ виден из $C$ и $D$ под равными углами: по условию $\angle BCA = \angle BDA$.

Доказываем, что четыре точки лежат на окружности

Если из двух точек, лежащих по одну сторону от отрезка, он виден под равными углами, то эти точки и концы отрезка лежат на одной окружности (обратная теорема о вписанном угле). Значит, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности — $ABCD$ вписанный.

Переходим к другой хорде

Рассмотрим хорду $AD$. Углы $\angle ABD$ (вершина $B$) и $\angle ACD$ (вершина $C$) — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $AD$ ($B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$, так как четырёхугольник выпуклый). Вписанные углы на одну дугу равны, поэтому

Что и требовалось доказать.

Ответ: углы $ABD$ и $ACD$ равны.