Неравенства

Область допустимых значений

Знаменатель не равен нулю: $x\ne 4$. Точка $x=4$ будет выколотой.

Раскладываем числитель

Корни трёхчлена $x^2-9x+20$: сумма $9$, произведение $20$ дают $x_1=4$, $x_2=5$. Значит $x^2-9x+20=(x-4)(x-5)$, и неравенство принимает вид

Сокращать «в уме» и терять точку $x=4$ нельзя — она остаётся запретной.

Метод интервалов

Отмечаем на прямой $x=4$ (выколота — это ОДЗ) и $x=5$ (закрашена — знак нестрогий, значение равно $0$). Определяем знак выражения по промежуткам:

• $x<4$ (возьмём $x=0$): $\dfrac{(-4)(-5)}{-4}=-5<0$ — подходит;
• $4<x<5$ (возьмём $x=4{,}5$): $\dfrac{(0{,}5)(-0{,}5)}{0{,}5}=-0{,}5<0$ — подходит;
• $x>5$ (возьмём $x=6$): $\dfrac{(2)(1)}{2}=1>0$ — не подходит.

Собираем ответ

Подходят оба левых промежутка; $x=5$ включаем ($\leqslant$), $x=4$ исключаем (ОДЗ).

Ответ: $(-\infty;\ 4)\cup(4;\ 5]$.

Смотрим на числитель

Числитель равен $-13$ — постоянное отрицательное число, в ноль не обращается. Значит, вся дробь нулём быть не может, а её знак определяется только знаменателем.

Условие на знак

Дробь $\dfrac{-13}{\ldots}$ должна быть $\geqslant 0$. Нулём она не бывает, поэтому нужна строго положительная дробь. «Минус сверху» даёт плюс только при отрицательном знаменателе:

Решаем полученное неравенство

При этих $x$ знаменатель отрицателен и в ноль не обращается, поэтому ОДЗ соблюдено автоматически. Концы строгие — знаменатель там равен нулю.

Ответ: $\left(4-\sqrt{6};\ 4+\sqrt{6}\right)$.

Раскладываем на множители

По разности квадратов $x^2-25=(x-5)(x+5)$, поэтому

Выделяем полный квадрат

Заметим, что $5-x=-(x-5)$, значит $(5-x)(x-5)=-(x-5)^2$. Тогда

Анализируем знак

Множитель $(x-5)^2\geqslant 0$ при всех $x$ и знак не меняет. Произведение $\leqslant 0$ в двух случаях:

• $(x-5)^2=0$, то есть $x=5$ — тогда всё произведение равно $0$ (годится);
• $(x-5)^2>0$, тогда нужно $x+5\leqslant 0$, то есть $x\leqslant -5$.

Проверка: $x=-6\Rightarrow 121\geqslant 0$ (верно); $x=0\Rightarrow -125<0$ (не годится); $x=5\Rightarrow 0\geqslant 0$ (верно).

Ответ: $(-\infty;\ -5]\cup\{5\}$.