Окружности

Длина касательной (степень точки)

Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $T$. Из точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая через $M$ и $N$, поэтому

Синус угла A

Середина хорды и проекция

Опустим из центра $O$ перпендикуляр $OP$ на прямую $AC$. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, значит $P$ — середина $MN$ и

Спроецируем ломаную $A\to T\to O$ на прямую $AC$. Отрезок $AT$ лежит на $AB$, его проекция равна $AT\cos\angle BAC$; отрезок $TO\perp AB$ и равен $r$, его проекция равна $r\sin\angle BAC$. Сумма проекций равна $AP$:

Уравнение на радиус

Ответ: $16$.

Дополнительное построение

Продлим боковые стороны до пересечения в точке $K$. В треугольнике $AKD$ углы при $A$ и $D$ в сумме дают $90^\circ$, поэтому $\angle AKD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, то есть $KA \perp KD$.

Подобие

Так как $BC\parallel AD$, треугольники $KBC$ и $KAD$ подобны с коэффициентом $k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{24}{48}=\dfrac12$. Значит $B$ — середина $KA$, откуда

Степень точки K

Прямая $KA$ — секущая (через $A$ и $B$), прямая $KD$ — касательная в точке $T$. Тогда

Радиус через прямоугольник

Опустим из центра $O$ перпендикуляр $OM$ на $KA$; $M$ — середина хорды $AB$, поэтому

У четырёхугольника $KMOT$ три прямых угла (при $K$, $M$, $T$), значит это прямоугольник, и $R = OT = KM = 19{,}5$.

Ответ: $19{,}5$.

Расстояние между центрами

При внешнем касании $O_1O_2 = r + R = 36 + 45 = 81$.

Симметрия

Конфигурация симметрична относительно линии центров: точки $A,B$ симметричны, $C,D$ симметричны. Поэтому хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны прямой $O_1O_2$ и параллельны между собой. Искомое расстояние — это отрезок $PQ$ линии центров между ними, где $P=AB\cap O_1O_2$, $Q=CD\cap O_1O_2$.

Угол наклона касательной

Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной, поэтому $O_1A\parallel O_2C$. Опустив из $O_1$ перпендикуляр на прямую $O_2C$, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $O_1O_2=81$ и катетом $R-r=9$. Для угла $\varphi$ между касательной и линией центров:

Проекции точек касания

Точка $P$ вынесена за $O_1$ (наружу отрезка), а $Q$ не доходит до $O_2$ на $5$, поэтому

Тот же результат по формуле $\dfrac{4Rr}{R+r} = \dfrac{4\cdot36\cdot45}{81} = 80$.

Ответ: $80$.