Задание 15: Треугольники и их элементы

Треугольники и их элементы (Задание 15)

Задание 15 — это вход в геометрию первой части ОГЭ. Почти всегда тебе дают чертёж треугольника с несколькими числами и просят найти ещё одну величину: угол, сторону, площадь или значение синуса, косинуса, тангенса. Ничего громоздкого здесь нет — задача решается в одно-два действия, если ты знаешь несколько базовых фактов о треугольнике.

Разберём подтемы, которые встречаются в этом задании: углы треугольника, треугольники общего вида, равнобедренные треугольники и прямоугольный треугольник. По каждой — свой набор формул, но все они держатся на нескольких простых идеях.

Углы треугольника

Главный факт про углы ты используешь чаще всего.

Треугольники общего вида

Здесь важны две вещи: как связаны стороны и углы и как искать площадь.

Равнобедренный треугольник

Прямоугольный треугольник

Самый частый гость задания 15. У него один угол прямой ($90^\circ$); две стороны при прямом угле — катеты, а сторона напротив прямого угла — гипотенуза (она всегда самая длинная).

Алгоритм решения

Примеры решения задач

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, от самой простой к составной.

Пример 1. Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $54^\circ$ и $58^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Пример 2. Тангенс острого угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 15$, $AC = 3$. Найдите $\tg B$.

Пример 3. Площадь через две стороны и синус угла

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 20$, $BC = 7$, $\sin \angle ABC = \dfrac{2}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Что запомнить

• Углы: сумма трёх углов треугольника всегда $180^\circ$. Знаешь два — третий находится вычитанием.
• Площадь: $\dfrac{1}{2} a h_a$ (сторона на высоту к ней) или $\dfrac{1}{2} ab \sin\gamma$ (две стороны на синус угла между ними). Обе есть в справочных материалах.
• Прямоугольный треугольник: гипотенуза напротив прямого угла; Пифагор $c^2 = a^2 + b^2$; площадь — половина произведения катетов.
• Тригонометрия: синус и косинус делят катет на гипотенузу, тангенс — катет на катет. Всегда смотри от нужного угла.
• Формат: число без единиц, десятичная дробь через запятую.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: задание 15.

Отдельные подтемы — коллекции по топикам:

• Углы
• Треугольники общего вида
• Равнобедренные треугольники
• Прямоугольный треугольник