Поиск

Теорема Пифагора

Содержание

Теорема Пифагора (Задание 18)

Внутри задания 18 «Фигуры на квадратной решётке» есть отдельный подвид: тебя просят найти длину наклонного отрезка — стороны треугольника, боковой стороны трапеции, диагонали ромба или просто расстояния между двумя точками. Всё, что лежит вдоль линий сетки, ты считаешь прямо по клеткам. А вот наклонную линию по клеткам не измеришь — тут и включается теорема Пифагора.

Приём один и тот же: наклонный отрезок ты делаешь гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого идут по линиям сетки. Катеты сосчитал по клеткам — подставил в формулу — получил длину. Этот подвид отличается от «площадей» и «средней линии» тем, что здесь почти всегда работает одна формула, и главное — не ошибиться в подсчёте катетов и в том, что именно у тебя гипотенуза.

Наклонный отрезок как гипотенуза прямоугольного треугольника на сетке

Главная формула

Чтобы построить катеты, через один конец отрезка проведи горизонтальную линию сетки, через другой — вертикальную. Они пересекутся в узле, и получится прямоугольный треугольник, где твой отрезок — гипотенуза. Горизонтальный катет — это «сдвиг по клеткам вправо», вертикальный — «сдвиг по клеткам вверх».

Периметр и стороны фигур

Тот же приём работает, когда надо найти сторону фигуры или её периметр. Каждую наклонную сторону ты по отдельности достраиваешь до прямоугольного треугольника и находишь Пифагором, а потом складываешь.

Периметр треугольника с наклонными сторонами через Пифагора

Алгоритм

Типовые ловушки ОГЭ

Примеры решения задач

Ниже — разбор от чистого Пифагора к задачам, где он работает вместе с подсчётом по клеткам.

Пример 1. Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×11\times 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Две точки на клетчатой бумаге, смещены на 3 клетки по горизонтали и 4 по вертикали
Пример 2. Сравнение отрезков на одной прямой

На клетчатой бумаге изображён треугольник ABCABC. Во сколько раз отрезок AMAM короче отрезка BMBM?

Треугольник ABC на клетчатой бумаге, точка M на стороне AB рядом с A
Пример 3. Диагональ и сторона ромба

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×11\times 1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Ромб на клетчатой бумаге: большая диагональ горизонтальна (6 клеток), меньшая вертикальна (2 клетки)

Что запомнить

  • Вдоль сетки — считай по клеткам, наискосок — Пифагором. Наклонный отрезок делай гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами по сетке.
  • Теорема Пифагора a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 есть в справочных материалах КИМ — пользуйся листом, но подставляй быстро.
  • Пифагоровы тройки (3−4−53{-}4{-}5, 5−12−135{-}12{-}13, 8−15−178{-}15{-}17) дают целую гипотенузу без вычислений.
  • Гипотенуза длиннее любого катета, и она не равна сумме катетов — не забудь возвести в квадрат.
  • Формат: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».

Отработка

Отработай приём на задачах банка: все задачи задания 18.

Подборка именно по этому подвиду: Теорема Пифагора.