Дисперсия и стандартное отклонение

Содержание

Дисперсия и стандартное отклонение (Задание 6)
Что именно измеряет дисперсия
Алгоритм подсчёта
Две формулы без таблицы
Примеры решения
Частые ошибки

Дисперсия и стандартное отклонение (Задание 6)

Математическое ожидание отвечает на вопрос «сколько получится в среднем», но молчит о том, что для практики не менее важно: насколько результат предсказуем. Две величины с одним и тем же средним ведут себя совершенно по-разному - одна почти всегда даёт результат рядом со средним, вторая скачет от края к краю. Меру этого разброса и спрашивают в задании 6: дисперсию $D(X)$ и стандартное отклонение $\sigma(X)$ .

Сюжеты повторяются из варианта в вариант: число сбоев терминала за смену, число бракованных деталей у двух станков, отклонение массы буханки от номинала, время выполнения одной заявки. Таблица распределения почти всегда уже дана в условии, и вся работа сводится к аккуратному счёту по одной формуле.

Что именно измеряет дисперсия

Отклонение значения от среднего - это разность $x_i - E(X)$ . Просто усреднить такие разности нельзя: положительные и отрицательные гасят друг друга, и в сумме всегда получается ровно ноль, каким бы разбросанным ни было распределение. Поэтому отклонения возводят в квадрат: знак пропадает, а величина промаха остаётся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дисперсия

Дисперсия случайной величины $X$ - это математическое ожидание квадрата отклонения от среднего:

D(X) = \big(x_1 - E(X)\big)^2 p_1 + \big(x_2 - E(X)\big)^2 p_2 + \ldots + \big(x_n - E(X)\big)^2 p_n

Каждый квадрат промаха входит со своим весом $p_i$ - вероятностью соответствующего значения. Крупный промах, который случается редко, и мелкий, который случается часто, могут дать одинаковый вклад.

Считать прямо по определению долго: сначала найти $E(X)$ , потом вычесть его из каждого значения, каждую разность возвести в квадрат и только после этого умножать на вероятности. Есть равносильная запись, которая экономит половину арифметики и почти всегда используется на экзамене.

Дисперсия измеряется в квадратах исходных единиц. «Рубль в квадрате» или «грамм в квадрате» смысла не имеют, поэтому разброс чаще описывают вторым числом - корнем из дисперсии.

Алгоритм подсчёта

АЛГОРИТМ

Как посчитать

D(X)

\sigma(X)

по таблице

Проверь сумму вероятностей. Она обязана равняться $1$ . Не сходится - в таблице потеряно значение или есть опечатка, считать дальше бессмысленно.
Посчитай $E(X)$ . Умножь каждое значение на его вероятность и сложи.
Посчитай $E(X^2)$ . Возведи в квадрат значения, вероятности оставь прежними, снова сложи.
Вычти. $D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ . Порядок важен: из среднего квадратов вычитается квадрат среднего, а не наоборот.
Извлеки корень, если спрашивали $\sigma$ .
Проверь правдоподобие. Всегда $D(X) \geqslant 0$ . Кроме того, стандартное отклонение не может превысить половину размаха: если все значения лежат между $m$ и $M$ , то $\sigma \leqslant \dfrac{M - m}{2}$ .

Счёт удобно вести таблицей в четыре столбца: значения, вероятности, произведения $x_ip_i$ и произведения $x_i^2p_i$ . Суммы двух последних столбцов - это ровно $E(X)$ и $E(X^2)$ , а дальше остаётся одно вычитание.

Схема подсчёта дисперсии по таблице распределения

Для распределения из схемы получается $E(X) = 2{,}1$ и $E(X^2) = 4{,}9$ , значит $D(X) = 4{,}9 - 2{,}1^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$ , а $\sigma(X) = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ .

Две формулы без таблицы

Иногда таблицу выписывать не нужно: распределение известно заранее по устройству задачи. Два таких случая закрывают почти все «нетабличные» задачи номера.

Первый - величина всего с двумя значениями: либо ничего, либо $a$ . Так устроены выплата по страховке, приз в акции, штраф, разовая премия: событие либо наступило, либо нет.

Второй случай - число успехов в серии одинаковых независимых испытаний: сколько раз из $n$ выстрелов было попадание, сколько из $n$ деталей оказались бракованными, сколько из $n$ опрошенных ответили «да». Вероятности отдельных значений даёт формула Бернулли (конспект «Теоремы о вероятностях событий» задания 5), но для среднего и разброса она не нужна.

Примеры решения

Пример 1. Дисперсия по готовой таблице

Условие: Кассовый терминал магазина за смену даёт $0$ , $1$ или $2$ сбоя. Случайная величина $X$ - число сбоев за смену:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0{,}7$	$0{,}2$	$0{,}1$

Найдите дисперсию числа сбоев за смену.

Пример 2. Две формулы дают одно и то же

Условие: Время выполнения одной заявки мастером сервисного центра (в часах) - случайная величина $X$ :

$X$	$1$	$2$	$4$
$P$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

Найдите дисперсию времени выполнения заявки.

Пример 3. Стандартное отклонение симметричной величины

Условие: Хлебозавод выпускает буханки номинальной массой $800$ граммов. Отклонение массы буханки от номинала (в граммах) - случайная величина $X$ :

$X$	$-20$	$0$	$20$
$P$	$0{,}18$	$0{,}64$	$0{,}18$

Найдите стандартное отклонение величины $X$ . Ответ дайте в граммах.

Когда среднее равно нулю, вычитать нечего и дисперсия совпадает с $E(X^2)$ . На рисунке видно, что означает найденное $\sigma = 12$ : это типичное отклонение массы от номинала, отложенное по той же оси и в тех же граммах, что и сами значения.

Симметричное распределение и стандартное отклонение

Пример 4. Какой станок стабильнее

Условие: Два станка за смену дают $0$ , $1$ или $2$ бракованные детали. Для первого станка это случайная величина $X$ , для второго - случайная величина $Y$ .

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

$Y$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0{,}6$	$0{,}1$	$0{,}3$

Найдите разность $D(Y) - D(X)$ .

Пример 5. Приз или ничего

Условие: Автомат в парке выдаёт мягкую игрушку стоимостью $300$ рублей с вероятностью $0{,}2$ , а в остальных случаях игрок не получает ничего. Случайная величина $X$ - стоимость приза за одну игру. Найдите дисперсию величины $X$ .

Узнаём величину с двумя значениями

$X$ принимает значение $a = 300$ с вероятностью $p = 0{,}2$ и значение $0$ с вероятностью $0{,}8$ . Таблица распределения получается сама собой:

$X$	$0$	$300$
$P$	$0{,}8$	$0{,}2$

Считаем по формуле

E(X) = ap = 300 \cdot 0{,}2 = 60 \text{ рублей}

D(X) = a^2p(1 - p) = 300^2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 90\,000 \cdot 0{,}16 = 14\,400

Проверяем рабочей формулой

E(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}8 + 300^2 \cdot 0{,}2 = 18\,000

D(X) = 18\,000 - 60^2 = 18\,000 - 3600 = 14\,400

Сошлось. Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{14\,400} = 120$ рублей - меньше половины размаха $150$ , значит правдоподобно.

Ответ: 14400

Пример 6. Число попаданий в серии бросков

Условие: Баскетболист выполняет $25$ штрафных бросков. Каждый бросок независимо от остальных попадает в кольцо с вероятностью $0{,}8$ . Найдите дисперсию числа попаданий.

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Выбросили нулевое значение из таблицы

Ошибка: решить, что значение $0$ «ничего не даёт», вычеркнуть его вместе с вероятностью $0{,}7$ и считать по оставшимся двум столбцам. Правильно: на $E(X)$ и $E(X^2)$ нулевое значение действительно не влияет, но его вероятность влияет на всё остальное. Без неё сумма вероятностей станет $0{,}3$ вместо $1$ , и распределение перестанет быть распределением. Строку оставляют в таблице, а нули просто не пишут в сумму.

СОВЕТ

Приёмы быстрого счёта

Не считай отклонения по одному. Формула $E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ короче определения примерно вдвое и не порождает трёхзначных десятичных дробей.
Считай в целых. Если все значения кратны $10$ или $100$ , вынеси множитель: у величины $10X$ дисперсия ровно в $100$ раз больше, чем у $X$ . В примере 3 удобно считать по значениям $-1$ , $0$ , $1$ , получить $D = 0{,}36$ и умножить на $400$ .
Симметрия - подарок. Если значения симметричны относительно какой-то точки, а вероятности зеркальны, среднее равно этой точке. Считать $E(X)$ отдельно не нужно.
Сдвиг не меняет разброс. Прибавление одного и того же числа ко всем значениям на дисперсию не влияет. Значения $998$ , $1000$ , $1002$ можно заменить на $-2$ , $0$ , $2$ - арифметика станет втрое короче, а ответ не изменится.
Держи $E(X)$ на виду. Его квадрат понадобится ещё раз: чаще всего дисперсию теряют не в формуле, а при переписывании среднего.

ИТОГ

Что запомнить

$D(X)$ - средний квадрат отклонения от среднего, $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$ .
Рабочая формула: $D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ ; в $E(X^2)$ в квадрат идут значения, а не вероятности.
Дисперсия - в квадратах единиц, стандартное отклонение - в тех же единицах, что и сама величина.
$D(X) \geqslant 0$ всегда; ноль означает, что величина постоянна. Отрицательный результат - ошибка в счёте.
Проверка сверху: $\sigma$ не больше половины размаха значений.
Одинаковое среднее ещё не значит одинаковое поведение: сравнить величины по стабильности можно только через $D$ или $\sigma$ .
Величина со значениями $0$ и $a$ : $E(X) = ap$ , $D(X) = a^2p(1 - p)$ .
Число успехов в $n$ независимых испытаниях с одной и той же вероятностью $p$ : $E(X) = np$ , $D(X) = np(1 - p)$ .

Проверь себя

Величина $X$ принимает значения $0$ и $1$ с вероятностями $0{,}5$ и $0{,}5$ . Чему равна $D(X)$ ?
Известно, что $D(X) = 0{,}64$ . Чему равно стандартное отклонение?
Величина всегда принимает одно и то же значение $7$ . Чему равна её дисперсия?
При счёте получилось $D(X) = -0{,}3$ . Что это означает?
Для величины со значениями $1$ , $2$ , $3$ получилось $E(X) = 2$ и $E(X^2) = 4{,}5$ . Чему равна $D(X)$ ?
В серии из $10$ независимых испытаний успех наступает с вероятностью $0{,}3$ . Чему равна дисперсия числа успехов?

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия и стандартное отклонение (Задание 6)

Что именно измеряет дисперсия

Алгоритм подсчёта

Две формулы без таблицы

Примеры решения

Проверяем таблицу

Считаем среднее

Считаем среднее квадратов

Вычитаем

Считаем среднее

Рабочая формула

Та же дисперсия по определению

Замечаем симметрию

Считаем среднее квадратов

Дисперсия и корень из неё

Первый станок

Второй станок

Разность