Линейные уравнения и неравенства

Суть темы

Задание 10 - это прикладная задача с формулой из физики, экономики или техники. Тебе не нужно знать сам физический закон: формула, все обозначения и единицы измерения уже даны в условии. Твоя работа чисто алгебраическая - подставить числа и решить уравнение или неравенство.

Подтип с линейными уравнениями и линейными неравенствами - самый простой в этом задании. Неизвестная входит в формулу в первой степени (или стоит в знаменателе простой дроби, которая легко превращается в линейное соотношение). Главная сложность здесь не алгебра, а аккуратный перевод фраз «не менее», «не более», «наименьшее», «наибольшее» в знаки $\leqslant$, $\geqslant$ и в правильный выбор ответа.

Линейные модели в задании 10

В формулах этого подтипа встречаются три базовые модели.

От слов к знакам

Ключевой навык в этом задании - услышать в условии нужный знак неравенства. Держи в голове короткий словарь.

Фраза в условии	Знак	Что ищем в ответе
«не более», «не превышает», «не больше чем»	$\leqslant$	обычно наибольшее значение
«не менее», «не меньше чем», «хотя бы»	$\geqslant$	обычно наименьшее значение
«строго больше», «превышает»	$>$	-
«строго меньше»	$<$	-

Если в задаче просят найти наименьшее значение, а ответ получился в виде $x \geqslant a$, то ответ - это $a$. Если ищут наибольшее при $x \leqslant a$, ответ тоже $a$. Край интервала и есть то число, которое просят записать в бланк.

Алгоритм решения

Примеры решения

Три сюжета: линейное уравнение, линейное неравенство и задача, где неизвестная изначально стоит в знаменателе.

Пример 1. Линейное уравнение (тепловое расширение)

Длина стального рельса при температуре $0\,^\circ\text{C}$ равна $l_0 = 12{,}5$ м. При нагревании длина меняется по закону

$$l(t) = l_0\,(1 + \alpha t),$$

где $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$ - коэффициент теплового расширения, $t$ - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $6$ мм? Ответ дай в градусах Цельсия.

Решение:

Удлинение - это разность $l(t) - l_0$. Вычтем $l_0$ из обеих частей формулы:

$$l(t) - l_0 = l_0 \cdot \alpha \cdot t$$

В формуле длина выражается в метрах, поэтому миллиметры переведём в метры: $6\ \text{мм} = 0{,}006\ \text{м}$. Подставим всё известное:

$$0{,}006 = 12{,}5 \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-5} \cdot t$$

Сосчитаем произведение коэффициентов: $12{,}5 \cdot 1{,}2 = 15$, значит $12{,}5 \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-5} = 15 \cdot 10^{-5}$. Уравнение становится линейным относительно $t$:

$$0{,}006 = 15 \cdot 10^{-5} \cdot t$$

Выразим $t$:

$$t = \dfrac{0{,}006}{15 \cdot 10^{-5}} = \dfrac{6 \cdot 10^{-3}}{15 \cdot 10^{-5}} = \dfrac{6}{15} \cdot 10^{2} = 0{,}4 \cdot 100 = 40$$

Проверка: $l(40) = 12{,}5 \cdot (1 + 1{,}2 \cdot 10^{-5} \cdot 40) = 12{,}5 \cdot (1 + 0{,}00048) = 12{,}506$. Удлинение $12{,}506 - 12{,}5 = 0{,}006$ м $= 6$ мм. Сошлось.

Ответ: $40$

Пример 2. Линейное неравенство (закон Ома)

Сила тока $I$ (в амперах) в электросети вычисляется по закону Ома: $I = \dfrac{U}{R}$, где $U$ - напряжение (в В), $R$ - сопротивление прибора (в Ом). Сеть работает, пока сила тока не превышает $8$ А. Найди наименьшее сопротивление прибора, подключаемого к сети с напряжением $120$ В, при котором сеть продолжит работать. Ответ дай в омах.

Пример 3. Линейное неравенство (тариф таксопарка)

Стоимость поездки в такси (в рублях) вычисляется по формуле

$$C(S) = a + b \cdot S,$$

где $a = 120$ - фиксированная плата за подачу (в руб.), $b = 25$ - цена за километр (в руб./км), $S$ - длина поездки в километрах. Клиент готов заплатить не более $620$ рублей. Найди наибольшее расстояние, на которое он может проехать. Ответ дай в километрах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Пиши «дано» столбиком, как на физике: это структурирует данные и спасает от путаницы.
• Сверяй единицы измерения до подстановки. Миллиметры - в метры, минуты - в секунды, километры - в метры.
• «Не более», «не превышает» $\implies \leqslant$; «не менее», «не меньше» $\implies \geqslant$.
• Умножение или деление неравенства на отрицательное число переворачивает знак.
• Край получившегося промежутка и есть искомое наибольшее (или наименьшее) значение.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Фраза «сила тока не превышает $8$ А» переводится в неравенство…
   • $I \leqslant 8$
   • $I < 8$
   • $I \geqslant 8$
   • $I = 8$
2. Реши неравенство $-3x \geqslant 12$.
   • $x \leqslant -4$
   • $x \geqslant -4$
   • $x \leqslant 4$
   • $x \geqslant 4$
3. Решение свелось к $R \geqslant 15$, а в задаче просят наименьшее допустимое сопротивление. Что записать в ответ?
   • $15$
   • $16$
   • $14$
   • такого значения нет
4. Чему равно $\dfrac{12}{2{,}5}$?
   • $4{,}8$
   • $4{,}08$
   • $48$
   • $0{,}48$

Проверить