Кредиты

Содержание

Экономическая задача: Кредиты
Суть темы и базовые переменные
Общий алгоритм решения
Примеры решения задач
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
За что дают баллы
Что запомнить

Экономическая задача: Кредиты

Задание 16 проверяет умение строить математические модели для реальных жизненных ситуаций. Абсолютное большинство задач в этом номере посвящено кредитам. Это задание требует внимательного чтения условия и аккуратных вычислений.

Суть темы и базовые переменные

Любая задача на кредит строится по одному сценарию:

Банк выдает сумму $S$ .
В конце платежного периода банк начисляет процент $r$ . Долг увеличивается.
Клиент вносит платеж $X$ . Долг уменьшается.
Цикл повторяется, пока долг не станет равен нулю.

Для составления уравнений удобно ввести множитель увеличения долга - коэффициент $k$ .

Например, если банк начисляет $20\%$ , то долг увеличивается на $20\%$ , то есть становится равным $120\%$ от предыдущего значения. В формулах это запишется как умножение на $k = 1{,}2$ .

Существуют две основные схемы погашения кредита, которые встречаются на ЕГЭ.

1. Аннуитетные (равные) платежи

По этой схеме клиент каждый раз вносит одну и ту же сумму $X$ . Долг убывает неравномерно.

Математическая модель строится цепочкой:

1 год: взял $S$ , банк начислил процент ( $S \cdot k$ ), внес платеж ( $X$ ). Остаток: $S_1 = Sk - X$ .
2 год: на остаток начислили процент ( $S_1 \cdot k$ ), внес платеж ( $X$ ). Остаток: $S_2 = (Sk - X)k - X = Sk^2 - Xk - X$ .
3 год: $S_3 = (Sk^2 - Xk - X)k - X = Sk^3 - Xk^2 - Xk - X$ .
Если кредит взят на 3 года, то $S_3 = 0$ .

Схема-таймлайн аннуитетного кредита на 3 года

2. Дифференцированные платежи (равномерное уменьшение долга)

В условии сказано: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц/год». Здесь долг убывает равномерно: $S \to \dfrac{n-1}{n}S \to \dfrac{n-2}{n}S \to \dots \to 0$ .

Диаграмма-«лесенка» дифференцированных платежей

Платеж каждый месяц разный. Удобнее всего разбить каждый платеж на две части:

Выплата части основного долга (всегда равна $\dfrac{S}{n}$ , где $n$ - срок кредита).
Погашение начисленных процентов (равно $\dfrac{r}{100} \cdot \text{Текущий остаток долга}$ ).

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения кредитной задачи

Определи схему выплат. Внимательно прочитай условие: платежи равные или долг убывает равномерно? А может, дана конкретная таблица?
Введи переменные. Обязательно пропиши в решении, что обозначает каждая буква ( $S$ - сумма кредита, $r$ - ставка, $k = 1 + \dfrac{r}{100}$ , $x$ - платеж). Без этого могут снизить балл.
Построй математическую модель. Распиши каждый год/месяц. Для равных платежей выведи итоговое уравнение. Для неравных - выпиши последовательность остатков долга и начисленных процентов.
Составь уравнение. Используй дополнительные условия: общую сумму выплат, размер переплаты или конкретный платеж.
Вычисли ответ. Решай аккуратно, старайся не умножать большие числа до самого конца - часто можно вынести общий множитель и сократить дробь.

Примеры решения задач

Разберем три задачи из реальных вариантов ЕГЭ: на равные платежи, на равномерное убывание долга и смешанную схему.

Пример 1. Равные платежи

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено $292\,820$ рублей?

Вводим переменные и находим платеж

Пусть $S$ - искомая сумма кредита. Процентная ставка $r = 10\%$ , тогда коэффициент увеличения долга $k = 1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}1$ . Кредит погашается $4$ равными платежами. Пусть $x$ - размер одного платежа. Так как банку всего выплачено $292\,820$ рублей за $4$ платежа, найдем размер одного платежа:

4x = 292\,820 \implies x = 73\,205

Строим модель остатков долга

Составим математическую модель (остатки долга по годам):

1 год: $S_1 = 1{,}1S - x$
2 год: $S_2 = 1{,}1(1{,}1S - x) - x = 1{,}1^2 S - 1{,}1x - x$
3 год: $S_3 = 1{,}1(1{,}1^2 S - 1{,}1x - x) - x = 1{,}1^3 S - 1{,}1^2 x - 1{,}1x - x$
4 год: $S_4 = 1{,}1(1{,}1^3 S - 1{,}1^2 x - 1{,}1x - x) - x = 1{,}1^4 S - 1{,}1^3 x - 1{,}1^2 x - 1{,}1x - x$

Составляем и решаем уравнение

Так как за 4 года кредит погашен полностью, $S_4 = 0$ . Получаем уравнение:

1{,}1^4 S = x(1{,}1^3 + 1{,}1^2 + 1{,}1 + 1)

1{,}4641 S = 73\,205 \cdot (1{,}331 + 1{,}21 + 1{,}1 + 1)

1{,}4641 S = 73\,205 \cdot 4{,}641

Вычисляем ответ

Выразим $S$ :

S = \frac{73\,205 \cdot 4{,}641}{1{,}4641}

Умножим числитель и знаменатель на $10\,000$ , чтобы избавиться от запятых:

S = \frac{73\,205 \cdot 46\,410}{14\,641}

Заметим, что $73\,205 = 5 \cdot 14\,641$ . Сокращаем:

S = 5 \cdot 46\,410 = 232\,050

Ответ: $232\,050$ рублей.

Пример 2. Равномерное уменьшение долга

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $10$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит $15$ млн рублей?

Вводим переменные и модель убывания долга

Пусть $S = 10$ млн рублей - сумма кредита, $r = 10\%$ - ставка, $n$ - количество лет. Так как долг уменьшается на одну и ту же величину каждый год, эта величина равна $\dfrac{S}{n}$ . Выпишем последовательность остатков долга на начало каждого года (до начисления процентов):

S, \quad \frac{n-1}{n}S, \quad \frac{n-2}{n}S, \quad \dots, \quad \frac{1}{n}S

Находим сумму переплаты

Общая сумма выплат состоит из суммы самого долга ( $S$ ) и суммы всех выплаченных процентов ( $I$ ). По условию $S + I = 15$ . Подставим $S = 10$ :

10 + I = 15 \implies I = 5 \text{ млн рублей}

Выражаем проценты через n

Проценты начисляются каждый год на текущий остаток долга. Найдем сумму всех процентов:

I = \frac{r}{100} \cdot S + \frac{r}{100} \cdot \frac{n-1}{n}S + \dots + \frac{r}{100} \cdot \frac{1}{n}S

Вынесем общий множитель $\dfrac{r}{100} \cdot \dfrac{S}{n}$ :

I = \frac{r}{100} \cdot \frac{S}{n} \cdot (n + (n-1) + \dots + 1)

Сумма в скобках - это арифметическая прогрессия от $1$ до $n$ . Ее сумма равна $\dfrac{1 + n}{2} \cdot n$ .

I = \frac{10}{100} \cdot \frac{10}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2}

I = \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}

Решаем уравнение

Мы знаем, что $I = 5$ . Решим уравнение:

\frac{n+1}{2} = 5 \implies n+1 = 10 \implies n = 9

Ответ: $9$ лет.

Пример 3. Смешанная схема (Ступенчатое убывание)

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере $800$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг будет возрастать на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
в июле 2030 года долг должен составить $200$ тыс. рублей;
в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $1480$ тыс. рублей. Найдите $r$ .

Находим шаги уменьшения долга

Пусть $S = 800$ тыс. рублей. В первые $5$ лет долг уменьшается с $800$ до $200$ тыс. рублей равными шагами. Шаг уменьшения (выплата тела кредита): $\dfrac{800 - 200}{5} = 120$ тыс. рублей. Во вторые $5$ лет долг уменьшается с $200$ до $0$ равными шагами. Шаг уменьшения: $\dfrac{200}{5} = 40$ тыс. рублей.

Выписываем остатки долга и переплату

Выпишем остатки долга по годам на момент начисления процентов: 1-5 годы: $800, \quad 680, \quad 560, \quad 440, \quad 320$ 6-10 годы: $200, \quad 160, \quad 120, \quad 80, \quad 40$

Общая сумма выплат равна: Исходный долг $+$ Все проценты.

1480 = 800 + I \implies I = 680 \text{ тыс. рублей}

Складываем остатки

Проценты начисляются на текущий остаток долга. Вынесем $\dfrac{r}{100}$ за скобки и сложим все остатки:

I = \frac{r}{100} \cdot \bigl((800 + 680 + 560 + 440 + 320) + (200 + 160 + 120 + 80 + 40)\bigr)

Сумма первой группы: $\dfrac{800 + 320}{2} \cdot 5 = 2800$ . Сумма второй группы: $\dfrac{200 + 40}{2} \cdot 5 = 600$ . Общая сумма остатков: $2800 + 600 = 3400$ .

Решаем уравнение на r

Подставим в формулу процентов:

680 = \frac{r}{100} \cdot 3400

680 = 34r \implies r = \frac{680}{34} = 20

Ответ: $20$ .

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 16

Ориентировочное время: 15-25 минут.
Приоритет: Это одна из самых "решаемых" задач второй части. Если умеешь составлять модель - берись за нее сразу после 13 и 15 заданий.
Проверка: После получения ответа проверь его на здравый смысл. Ставка $r$ обычно от $5\%$ до $30\%$ . Сумма выплат всегда больше, чем исходный кредит, но не в 10 раз.
Оформление: Обязательно словами описывай, что значит твоя формула или таблица. Эксперт не должен догадываться, откуда взялось уравнение.

За что дают баллы

В задании 16 можно получить от 0 до 2 первичных баллов.

2 балла (Максимум): Верно построена математическая модель, все шаги обоснованы, получен верный числовой ответ.
1 балл (Частичный): Верно построена математическая модель (составлено итоговое уравнение или система, правильно учитывающая все условия кредита), но решение не завершено ИЛИ допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2+3=6$ ), с которой решение доведено до конца. Ошибка в формуле (например, перепутан знак или неправильно посчитан $k$ ) - это ошибка модели, за нее ставится 0 баллов.
0 баллов: Модель построена неверно, либо записан только ответ без решения.

Что запомнить

Читай внимательно: ищи слова-маркеры. "Равные платежи" - выводи уравнение с $k^n$ . "Долг уменьшается на одну и ту же величину" - используй арифметическую прогрессию.
Пиши "дано": введение переменных $S, r, k, x$ спасает от путаницы и показывает эксперту твою логику.
Общая выплата = Долг + Переплата: в задачах с убывающим долгом это самый быстрый способ составить уравнение. Расписывать каждый платеж по отдельности не обязательно.
Строй таблицы, лучше визуально представить схему выплат, если понимаешь как и умеешь.

Проверь себя

Банк начисляет $15\%$ годовых. Чему равен коэффициент увеличения долга $k$ ?
По какой схеме клиент каждый раз вносит одну и ту же сумму $X$ ?
Кредит $S$ погашен, общая сумма выплат $T$ , сумма начисленных процентов $I$ . Какое равенство верно?
На что банк начисляет проценты в каждом периоде?