Сечения параллелепипедов

Содержание

Суть темы
Основные факты и формулы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Суть темы

Сечение параллелепипеда - одна из удобных подтем задания 15. Прямые углы и три пары параллельных граней дают сразу два независимых пути решения:

Геометрический (метод следов). Продолжаешь отрезки сечения до пересечения с рёбрами или их продолжениями, используешь подобие треугольников и свойство параллельных граней.
Координатный. Вводишь оси $X, Y, Z$ вдоль рёбер, находишь уравнение плоскости, считаешь площадь через проекцию. Это арифметика на автопилоте - без пространственного озарения.

Освой оба: первый быстрее при удачном чертеже, второй надёжнее как запасной.

Основные факты и формулы

Для площади сечения главный инструмент - теорема о площади ортогональной проекции. Она выручает, когда проекция сечения на основание - удобная фигура (прямоугольник или трапеция).

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на сечение параллелепипеда

Сделай крупный чертёж. Если точка делит ребро в отношении $3:2$ , а длина ребра $10$ , сразу пиши длины отрезков ( $6$ и $4$ ) прямо на рисунке.
Выбери метод для пункта «а».
- Геометрический: продли прямую, соединяющую две точки на соседних гранях, до пересечения с продолжением общего ребра этих граней. Полученная точка (след) даёт продолжение сечения в следующую грань.
- Координатный: введи оси с началом в вершине (обычно в $A$ или $D$ ). Найди координаты трёх заданных точек, составь уравнение плоскости и подставь в него координаты четвёртой точки.
Определи вид сечения. Проверь параллельность противоположных сторон. В параллелепипеде сечение через четыре точки, лежащие на попарно противоположных гранях, всегда даёт трапецию или параллелограмм.
Посчитай площадь для пункта «б». Два рабочих способа:
- разбей многоугольник на треугольники и найди их площади через векторное произведение или теорему косинусов;
- спроецируй сечение на основание и применяй формулу $S_{\text{сеч}} = S_{\text{пр}} / \cos \alpha$ .

Примеры решения

Разбор двух задач: первая - классика (метод следов), вторая - координатным методом с проекцией.

Пример 1. Метод следов и свойства параллельных граней

Условие: В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB = 4$ , $AD = 8$ , $AA_1 = 12$ . На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ , причём $A_1E : EA = 2 : 1$ и $B_1F : FB = 1 : 2$ . Точка $T$ - середина ребра $B_1C_1$ .

а) Докажи, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$ .

б) Найди площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$ .

Чертёж к пункту а: след плоскости на верхней грани

Пункт а: находим длины отрезков на рёбрах

$AA_1 = 12$ , отношение $A_1E : EA = 2 : 1 \implies A_1E = 8,\; EA = 4$ . $BB_1 = 12$ , отношение $B_1F : FB = 1 : 2 \implies B_1F = 4,\; FB = 8$ . $B_1C_1 = AD = 8$ , $T$ - середина, значит $B_1T = TC_1 = 4$ .

Пункт а: строим след плоскости на прямой $A_1B_1$

Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$ . Продли прямую $EF$ вверх до пересечения с прямой $A_1B_1$ в точке $X$ . Прямые $A_1E$ и $B_1F$ параллельны (лежат на рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ ), поэтому треугольники $XA_1E$ и $XB_1F$ подобны с коэффициентом $k = \dfrac{A_1E}{B_1F} = 2$ . Значит, $XA_1 = 2 \cdot XB_1$ . С учётом $XA_1 = XB_1 + A_1B_1$ и $A_1B_1 = 4$ :

XB_1 + 4 = 2 \cdot XB_1 \implies XB_1 = 4,\quad XA_1 = 8.

Пункт а: доказываем, что $D_1$ лежит в плоскости

Точка $X$ лежит на прямой $A_1B_1$ , то есть в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ . Там же лежит точка $T$ . Проведи прямую $XT$ - она лежит в плоскости $EFT$ . Треугольники $\triangle XB_1T$ и $\triangle XA_1D_1$ прямоугольные (углы при $B_1$ и $A_1$ ), общий угол при $X$ , стороны пропорциональны:

\dfrac{XB_1}{XA_1} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{B_1T}{A_1D_1} = \dfrac{4}{8}.

Значит, $\triangle XB_1T \sim \triangle XA_1D_1$ , луч $XT$ совпадает с лучом $XD_1$ , и точка $D_1$ лежит на прямой $XT$ , то есть в плоскости $EFT$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б: определяем вид сечения

Чертёж к пункту б: сечение EFTD1 - трапеция

Плоскость $EFT$ пересекает параллельные грани $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$ по отрезкам $ED_1$ и $FT$ соответственно. По свойству параллельных плоскостей $ED_1 \parallel FT$ , значит, сечение $EFTD_1$ - трапеция с основаниями $FT$ и $ED_1$ .

Пункт б: находим стороны трапеции

Длины сторон по теореме Пифагора в соответствующих гранях:

FT = \sqrt{B_1F^2 + B_1T^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}, \quad ED_1 = \sqrt{A_1E^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{64 + 64} = 8\sqrt{2}.

EF = \sqrt{AB^2 + (FB - EA)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}, \quad TD_1 = \sqrt{C_1D_1^2 + TC_1^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}.

Боковые стороны $EF$ и $TD_1$ равны ( $4\sqrt{2}$ ), значит трапеция равнобедренная.

Пункт б: высота и площадь трапеции

В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований:

p = \dfrac{ED_1 - FT}{2} = 2\sqrt{2}, \qquad h = \sqrt{EF^2 - p^2} = \sqrt{32 - 8} = 2\sqrt{6}.

Площадь трапеции:

S = \dfrac{FT + ED_1}{2} \cdot h = \dfrac{4\sqrt{2} + 8\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} = 12\sqrt{12} = 24\sqrt{3}.

Ответ: б) $24\sqrt{3}$ .

Пример 2. Координатный метод и метод проекции

Условие: В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB = 6$ , $AD = 8$ , $AA_1 = 12$ . На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ , причём $A_1E : EA = 1 : 2$ и $B_1F : FB = 1 : 5$ . Точка $T$ - середина ребра $B_1C_1$ .

а) Докажи, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$ .

б) Найди площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$ .

Пункт а: вводим координаты

Введи оси координат: начало в $A(0; 0; 0)$ , ось $X$ - по лучу $AB$ , ось $Y$ - по лучу $AD$ , ось $Z$ - по лучу $AA_1$ .

Координаты точек: $EA = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$ , $FB = \dfrac{5}{6} \cdot 12 = 10$ , $B_1T = 4$ :

E(0;\, 0;\, 8), \quad F(6;\, 0;\, 10), \quad T(6;\, 4;\, 12), \quad D_1(0;\, 8;\, 12).

Пункт а: составляем уравнение плоскости $EFT$

Ищем уравнение в виде $Ax + By + Cz + D = 0$ . Подставь координаты трёх точек:

\begin{cases} 8C + D = 0 & (E) \\ 6A + 10C + D = 0 & (F) \\ 6A + 4B + 12C + D = 0 & (T) \end{cases}

Из первого: $D = -8C$ . Во второе: $6A + 10C - 8C = 0 \implies 6A = -2C \implies A = -\dfrac{C}{3}$ . В третье: $6A + 4B + 12C - 8C = 0 \implies -2C + 4B + 4C = 0 \implies B = -\dfrac{C}{2}$ .

Чтобы избавиться от дробей, возьми $C = -6$ . Тогда $A = 2$ , $B = 3$ , $D = 48$ . Уравнение плоскости: $2x + 3y - 6z + 48 = 0$ , вектор нормали $\vec{n} = (2;\, 3;\, -6)$ .

Пункт а: проверяем точку $D_1$ подстановкой

Подстановка $D_1(0;\, 8;\, 12)$ :

2 \cdot 0 + 3 \cdot 8 - 6 \cdot 12 + 48 = 24 - 72 + 48 = 0.

Равенство выполняется, значит, $D_1$ лежит в плоскости $EFT$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б: проецируем сечение на основание

Спроецируй сечение $EFTD_1$ на плоскость основания $XY$ ( $z = 0$ ) - у проекции просто сбрасывается $z$ -координата.

Проекции вершин: $E \to (0;\, 0)$ , $F \to (6;\, 0)$ , $T \to (6;\, 4)$ , $D_1 \to (0;\, 8)$ .

Площадь проекции - прямоугольная трапеция с основаниями $4$ и $8$ , высотой $6$ :

S_{\text{пр}} = \dfrac{4 + 8}{2} \cdot 6 = 36.

Пункт б: находим угол и площадь сечения

Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Нормаль к сечению $\vec{n_1} = (2;\, 3;\, -6)$ , нормаль к основанию $\vec{n_2} = (0;\, 0;\, 1)$ :

|\vec{n_1}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7, \qquad |\vec{n_2}| = 1.

\cos \alpha = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \dfrac{|-6|}{7 \cdot 1} = \dfrac{6}{7}.

Площадь сечения:

S_{\text{сеч}} = \dfrac{S_{\text{пр}}}{\cos \alpha} = \dfrac{36}{6/7} = 36 \cdot \dfrac{7}{6} = 42.

Ответ: б) $42$ .

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время: 20-30 минут.
Очерёдность: за стереометрию берись после 14 и 16 - они надёжнее по баллам.
Выбор метода: в прямоугольном параллелепипеде и кубе координатный метод почти всегда быстрее классики. Пространственное воображение заменяется аккуратной арифметикой.
Страховка на «а»: если геометрическое доказательство не идёт - выпиши координаты точек и проверь уравнение плоскости подстановкой. Это и есть строгое доказательство.
Хитрость оценивания: если «а» не доказан, но пункт «б» решён с использованием утверждения «а» как данности - всё равно получишь $1$ балл. Не бросай задачу целиком.

За что дают баллы

В задании 15 максимум $3$ первичных балла:

3 балла. Пункт «а» доказан строго, без логических пробелов. В пункте «б» получен верный числовой ответ с полным обоснованием (включая обоснование вида сечения).
2 балла. Либо пункт «б» решён полностью и верно, а пункт «а» не доказан. Либо пункт «а» доказан, ход пункта «б» правильный, но ответ неверен из-за одной арифметической ошибки.
1 балл. Доказан только пункт «а»; или пункт «б» решён верно с использованием недоказанного утверждения из «а»; или в верном ходе пункта «б» есть вычислительная ошибка и пункт «а» не доказан.
0 баллов. Нет математически верных продвижений. Голый ответ в «б» без решения - это тоже $0$ .

Проверь себя

Секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда. Что можно сказать о линиях пересечения?
Площадь сечения $S_{\text{сеч}}$ и площадь его ортогональной проекции $S_{\text{пр}}$ связаны формулой:
Точка $E$ делит ребро $AA_1 = 15$ так, что $A_1E : EA = 3 : 2$ . Чему равно $A_1E$ ?
Зачем в формуле косинуса угла между плоскостями $\cos \alpha = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$ нужен модуль в числителе?