Комбинации фигур

Пункт а. Находим диаметр в основании

1. Опустим перпендикуляр из точки $K_1$ на плоскость нижнего основания. Так как образующие цилиндра перпендикулярны основаниям, проекцией точки $K_1$ будет точка $K$, лежащая на окружности нижнего основания. Отрезок $KK_1$ - образующая.
2. Возьми отрезок $MK_1$. По условию он пересекает ось цилиндра (пусть ось - это отрезок $OO_1$, где $O$ и $O_1$ - центры оснований).
3. Плоскость, проходящая через $MK_1$ и ось цилиндра, пересекает нижнее основание по отрезку $MK$. Значит, отрезок $MK$ проходит через центр нижнего основания $O$. Следовательно, $MK$ - диаметр нижнего основания.

Пункт а. Доказываем прямой угол

4. Точка $N$ лежит на окружности нижнего основания. Вписанный угол $MNK$ опирается на диаметр $MK$. Значит, $\angle MNK = 90^\circ$. То есть $MN \perp NK$.
5. Прямая $NN_1$ - образующая, она перпендикулярна плоскости нижнего основания, а значит, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Имеем: $NN_1 \perp MN$.
6. Прямая $MN$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $NN_1K_1K$ (прямым $NK$ и $NN_1$). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $MN \perp (NN_1K_1K)$.
7. Так как прямая $MN$ перпендикулярна всей плоскости, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе прямой $NK_1$. Следовательно, $\angle MNK_1 = 90^\circ$. Ч.т.д.

Пункт б. Находим катеты треугольника в основании

1. Для вычисления площади боковой поверхности нужна формула $S_{\text{бок}} = 2\pi R h$. Высота цилиндра равна образующей: $h = NN_1 = 16$. Осталось найти радиус основания $R$.
2. В пункте «а» доказано, что $MK$ - диаметр нижнего основания, то есть $MK = 2R$. В прямоугольном треугольнике $MNK$ катет $MN = 12$. Нужно найти второй катет $NK$.
3. Отрезки $N_1K_1$ и $NK$ равны, так как они являются проекциями друг друга при параллельном переносе верхнего основания на нижнее. По условию $N_1K_1 = 5$, значит, $NK = 5$.

Пункт б. Вычисляем радиус и площадь

4. Применим теорему Пифагора для $\triangle MNK$:

5. Диаметр равен $13$, следовательно, радиус $R = 6{,}5$.
6. Вычисляем площадь боковой поверхности:

Ответ: б) $208\pi$.

Пункт а. Выражаем образующую через радиус

1. Пусть $O$ - центр основания конуса. Треугольник $POX$ прямоугольный (так как $PO$ - высота). По условию $\angle PXO = 45^\circ$. Следовательно, треугольник равнобедренный, и $PO = OX = R$ (где $R$ - радиус основания).
2. Найдём образующую конуса $l$ по теореме Пифагора из $\triangle POX$:

Все образующие равны: $PX = PY = PZ = l = R\sqrt{2}$.

Пункт а. Связываем стороны через теорему косинусов

3. В основании конуса лежит прямоугольный треугольник $XZY$, так как вписанный угол $\angle XZY$ опирается на диаметр $XY$. Запишем теорему Пифагора для $\triangle XZY$: $XZ^2 + YZ^2 = XY^2$. Так как $XY = 2R$, получаем $XZ^2 + YZ^2 = 4R^2$.
4. Возьми теперь равнобедренный треугольник $XPZ$ (у него $PX = PZ = l$). Применим теорему косинусов для стороны $XZ$:

Обозначим $\angle XPZ = \alpha$. Подставим $PX = PZ = l$:

5. Аналогично для $\triangle YPZ$, обозначив $\angle YPZ = \beta$:

Пункт а. Завершаем доказательство

6. Сложим квадраты сторон:

7. Подставим $XZ^2 + YZ^2 = 4R^2$ и $l^2 = 2R^2$:

Разделим обе части на $4R^2$:

Что и требовалось доказать.

Пункт б. Находим радиус, высоту и стороны основания

1. Найдём радиус и высоту. Образующая $PZ = 2\sqrt{2}$, значит $l = 2\sqrt{2}$. Так как $l = R\sqrt{2}$, получаем $R\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \implies R = 2$. Высота конуса (и тетраэдра) $h = PO = R = 2$.
2. Вычислим стороны основания тетраэдра $XZ$ и $YZ$. Известно, что $\cos \alpha = \cos \angle XPZ = \dfrac{1}{4}$. По формуле из пункта «а»:

Следовательно, $XZ = 2\sqrt{3}$. 3. Найдём $\cos \beta$. Из доказанного в пункте «а»: $\cos \alpha + \cos \beta = 1 \implies \cos \beta = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

Следовательно, $YZ = 2$.

Пункт б. Вычисляем объём тетраэдра

4. Основание тетраэдра - прямоугольный треугольник $XZY$. Его площадь:

5. Объём тетраэдра $PXYZ$:

Ответ: б) $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.