Вписанные окружности и треугольники

Пункт а: строим квадрат у прямого угла

1. Проведи радиусы $ID$ и $IE$ в точки касания на катетах $BC$ и $CA$. По свойству радиуса в точку касания $ID \perp BC$ и $IE \perp CA$.
2. Рассмотри четырёхугольник $CDIE$. У него три прямых угла: $\angle DCE = 90^\circ$ (по условию), $\angle IDC = 90^\circ$ и $\angle IEC = 90^\circ$. Значит, и четвёртый угол прямой: $\angle DIE = 90^\circ$. Это прямоугольник.
3. У прямоугольника $CDIE$ две соседние стороны равны: $ID = IE = r$. Значит, $CDIE$ - квадрат со стороной $r$.

Пункт а: находим диагональ квадрата

Диагональ квадрата со стороной $r$ равна $r\sqrt{2}$. Отрезок $CI$ - это и есть диагональ.

Ч.т.д.

Пункт б: вычисляем радиус и CI

1. По теореме Пифагора найди гипотенузу:

2. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:

3. По доказанному в п.а:

Ответ: б) $2\sqrt{2}$.

Пункт а: половинки углов при инцентре

1. Точка $I$ - центр вписанной окружности, значит она лежит на биссектрисах углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$. Обозначь $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ACB = \gamma$. Тогда:

2. Сумма углов треугольника $BIC$ равна $180^\circ$:

Пункт а: подставляем сумму углов треугольника

3. В треугольнике $ABC$ сумма всех углов равна $180^\circ$, поэтому $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$. Подставь:

Ч.т.д.

Пункт б: вычисляем угол и синус половинного угла

1. По доказанной формуле:

2. Для $\sin \dfrac{\beta}{2}$ опусти из $I$ перпендикуляр на сторону $AB$ - он попадёт в точку касания $F$, и $IF = r = 3$. Прямоугольный треугольник $BIF$ имеет прямой угол при $F$, гипотенузу $BI = 5$ и катет $IF = 3$.
3. Угол $\angle IBF$ равен $\dfrac{\beta}{2}$, так как $BI$ - биссектриса. В прямоугольном треугольнике:

Значит, $\sin \dfrac{\beta}{2} = \dfrac{3}{5}$.

Ответ: б) $\angle BIC = 114^\circ$, $\sin \dfrac{\beta}{2} = \dfrac{3}{5}$.

Пункт а: проверяем обратную теорему Пифагора

1. Проверь обратную теорему Пифагора для сторон $6$, $8$, $10$:

Равенство выполнено, значит, треугольник $ABC$ прямоугольный. Прямой угол лежит напротив наибольшей стороны - гипотенузы $AC = 10$. Значит, $\angle B = 90^\circ$.

Пункт а: находим AK через отрезок касательной

2. Найди полупериметр:

3. По формуле отрезка касательной от вершины $A$:

Ч.т.д.

Пункт б: координатный метод для CK

1. Используй тот же метод касательных для вершины $B$:

Проверь: $AK + BK = 4 + 2 = 6 = AB$, всё сошлось. 2. Размести треугольник в координатах: $B = (0;\, 0)$, $A = (6;\, 0)$ (вдоль оси $X$, так как $\angle B = 90^\circ$), $C = (0;\, 8)$ (вдоль оси $Y$). Точка $K$ лежит на $AB$ и $BK = 2$, значит, $K = (2;\, 0)$. 3. Найди $CK$ по формуле расстояния:

Ответ: б) $2\sqrt{17}$.