Уравнения с параметром, содержащие модуль

Строим график левой части

Пусть $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$. Сначала построй параболу без модуля: $y = x^2 - 4x + 3$. Её нули: $x = 1$ и $x = 3$. Вершина: $x_v = \dfrac{4}{2} = 2$, $y_v = 2^2 - 8 + 3 = -1$. Модуль отражает часть параболы, которая находится ниже оси $X$, наверх. Точка вершины $(2;\, -1)$ отразится в точку $(2;\, 1)$. График имеет два излома в точках $x=1$ и $x=3$.

Анализируем правую часть

График $y = a$ - это горизонтальная прямая. Мысленно двигаем её снизу вверх:

• При $a < 0$ прямая ниже графика $f(x)$. Пересечений нет (0 корней).

• При $a = 0$ прямая проходит через изломы $(1; 0)$ и $(3; 0)$. Пересечений два (2 корня).

• При $0 < a < 1$ прямая пересекает две ветви и отражённый «горб» в двух местах. Пересечений четыре (4 корня).

• При $a = 1$ прямая касается вершины «горба» в точке $(2; 1)$ и пересекает две крайние ветви. Пересечений ровно три (3 корня).

• При $a > 1$ прямая проходит выше «горба» и пересекает только крайние ветви. Пересечений два (2 корня).

Делаем вывод

Нам нужно ровно три корня. Это происходит только при $a = 1$.

Ответ: $a = 1$.

Это уравнение сложнее: справа не просто число, а прямая под углом.

Раскрываем модуль

График $y = |x^2 - 4x + 3|$ состоит из трёх кусков:

• Левая ветвь ($x \leqslant 1$): $y = x^2 - 4x + 3$

• Центральный «горб» ($1 < x < 3$): $y = -x^2 + 4x - 3$

• Правая ветвь ($x \geqslant 3$): $y = x^2 - 4x + 3$

Анализируем прямую $y = x + a$

Это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k = 1$. При изменении $a$ прямая ездит вверх-вниз.

Разбираем вклад каждого куска

Число корней на куске = число решений «обычного» уравнения в соответствующем интервале по $x$.

Левая ветвь ($x \leqslant 1$): $x^2 - 5x + (3 - a) = 0$, корни $\dfrac{5 \pm \sqrt{13 + 4a}}{2}$. В интервал $x \leqslant 1$ может попасть только меньший корень, и только при $\sqrt{13 + 4a} \geqslant 3 \iff a \geqslant -1$. Итого: $1$ корень при $a \geqslant -1$.

Правая ветвь ($x \geqslant 3$): то же квадратное, теперь нужен больший корень $\geqslant 3$: $\sqrt{13 + 4a} \geqslant 1 \iff a \geqslant -3$. Итого: $1$ корень при $a \geqslant -3$.

Центральный горб ($1 \leqslant x \leqslant 3$): $x^2 - 3x + (a + 3) = 0$, $D = -4a - 3$. Касание при $a = -\dfrac{3}{4} = -0{,}75$ в точке $x = 1{,}5$. При $-1 \leqslant a < -0{,}75$ оба корня $\dfrac{3 \pm \sqrt{-4a - 3}}{2}$ попадают в отрезок; при $-3 \leqslant a < -1$ - только больший.

Собираем число корней по промежуткам параметра $a$

При $a = -1$ корень горба $x = 1$ совпадает с корнем левой ветви (это точка излома), поэтому три разных корня: $x = 1;\, 2;\, 4$. При $a = -0{,}75$ горб касается прямой в $x = 1{,}5$, плюс корни на ветвях.

Ответ: $a \in \{-1;\, -0{,}75\}$.

Делаем замену переменной

Видим повторяющееся выражение. Введём замену: $t = |x-a| + |x-3|$. Уравнение принимает вид:

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$.

Анализируем функцию с модулями

Возвращаемся к замене. У нас есть функция $f(x) = |x-a| + |x-3|$. Это классическое «корыто». Минимальное значение этой функции равно расстоянию между нулями подмодульных выражений:

График $f(x)$ - это горизонтальный отрезок на высоте $y = |a-3|$ (между точками $x=a$ и $x=3$), от которого под углом $45^\circ$ расходятся два луча вверх.

Связываем $t$ и количество корней $x$

Нам нужно решить совокупность:

Горизонтальная прямая $y = c$ пересекает «корыто»:

• в 0 точках, если $c < |a-3|$ (прямая ниже дна);

• в бесконечном множестве точек, если $c = |a-3|$ (прямая совпадает со дном);

• ровно в 2 точках, если $c > |a-3|$ (прямая пересекает боковые лучи).

Нам нужно, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня. Это возможно только в одном случае: одно из уравнений совокупности не даёт корней (прямая ниже дна), а второе даёт ровно два корня (прямая выше дна). Вариант, когда прямая совпадает со дном, нам не подходит, так как тогда корней будет бесконечно много (целый отрезок).

Значит, дно «корыта» должно располагаться строго между прямыми $y = 3$ и $y = 5$. Запишем это в виде двойного неравенства:

Решаем систему неравенств

Разобьём двойное неравенство на два:

Решаем первое: $|a-3| > 3 \implies a - 3 > 3 \text{ или } a - 3 < -3 \implies a > 6 \text{ или } a < 0$. Решаем второе: $|a-3| < 5 \implies -5 < a - 3 < 5 \implies -2 < a < 8$.

Пересекаем множества: Нам нужны числа от $-2$ до $8$, исключая отрезок $[0; 6]$. Получаем интервалы: $(-2;\, 0)$ и $(6;\, 8)$.

Ответ: $a \in (-2;\, 0) \cup (6;\, 8)$.