Задание 17: Прикладная задача на оптимизацию

Содержание

О задании
Какие темы встречаются
Основные формулы
Общий алгоритм решения
Примеры решения
Типичные ошибки
Приёмы
Как оформить на 2 балла

О задании

Задание 17 - новичок в профильном ЕГЭ: в КИМ-2026 такого номера не было. В 2027 году вариант вырос с 19 заданий до 20, максимальный первичный балл - с 32 до 33, и одно из добавленных заданий встало во вторую часть. Здесь проверяют не технику решения уравнений, а умение построить модель реальной ситуации и исследовать её. Формула, как правило, дана прямо в условии - её не надо помнить. Надо понять, какая величина в ней меняется, и найти, при каком её значении вторая величина будет наибольшей или наименьшей.

Формат ответа: Развёрнутое решение с обоснованием.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 2 первичных балла.
Ориентировочное время: 20 минут.

ЗАМЕЧАНИЕ

Связь с другими заданиями

Опора номер один - задание 9. Там ты уже искал точки максимума и наибольшие значения функций через производную. Разница в источнике функции и в оформлении: в задании 9 функция дана готовой, а ответ - одно число без пояснений; здесь функцию нужно сначала составить самому и записать полное обоснование. Опора номер два - задание 13. Там тоже житейская ситуация переводится на язык математики, но дальше хватает алгебры: проценты, прогрессии, квадратное уравнение, краткий ответ. Признак задания 17 - в модели появляется переменная, по которой функцию нужно исследовать на экстремум. Нет исследования - это не 17 номер.

Какие темы встречаются

Требование спецификации - «исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры и начал математического анализа» - распадается на шесть сюжетов.

Оптимизация производства - план выпуска, наименьшая себестоимость, наибольшая прибыль. Обычно квадратичная функция затрат.
Распределение ресурса - как разделить рабочих, деньги или сырьё между двумя объектами, чтобы суммарная выручка была наибольшей.
Физическая модель с данной формулой - мощность в цепи, дальность полёта, КПД. Формула приходит из условия вместе с числами.
Колебания и резонанс - максимум амплитуды по параметру. Прототип из демоверсии: амплитуда качки корабля, найти период волны.
Геометрическая оптимизация - наибольший объём коробки из листа, наибольшая площадь при заданной длине ограды.
Задачи из химии и биологии - концентрация препарата в крови, скорость реакции, рост популяции.

Основные формулы

ВАЖНОЕ

Схема исследования на экстремум

Пусть $x_0$ - внутренняя точка промежутка и $f'(x_0) = 0$ . Тогда знак производной по обе стороны от $x_0$ говорит всё:

f'(x) > 0 \text{ слева},\ f'(x) < 0 \text{ справа} \implies x_0 \text{ - точка максимума}

f'(x) < 0 \text{ слева},\ f'(x) > 0 \text{ справа} \implies x_0 \text{ - точка минимума}

Если знак производной при переходе через $x_0$ не меняется, экстремума в этой точке нет.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 17

Назови переменную. Одной строкой: что обозначаешь за $x$ и в каких единицах.
Составь функцию. Выпиши величину, которую надо сделать наибольшей или наименьшей, через $x$ . Если формула дана в условии - подставь в неё числа сразу, чтобы дальше работать с числовой функцией, а не с буквами.
Найди область допустимых значений. Сопротивление, длина, объём, число изделий и время неотрицательны; ограничения приходят также из знаменателей и из-под корня. Запиши промежуток явно.
Найди производную и критические точки. Реши $f'(x) = 0$ и оставь только те корни, которые попали в область допустимых значений.
Проверь характер экстремума. Определи знак производной слева и справа от критической точки и назови результат словами. Без этого шага решение не считается обоснованным.
Вернись к смыслу задачи. Спрашивают величину - подставь $x_0$ в функцию; спрашивают, при каком значении параметра, - оставь $x_0$ . Допиши единицы измерения.

Примеры решения

Пример 1. Генератор - прототип из демоверсии

Условие: На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon = 50$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку и реостатом устанавливает её сопротивление $R$ (в омах). Сила тока в цепи определяется законом Ома: $I = \dfrac{\varepsilon}{r + R}$ , а тепловая мощность, выделяемая в нагрузке, - законом Джоуля - Ленца: $P = I^2R$ . Какова наибольшая тепловая мощность, которая может быть выделена нагрузкой?

Составляем функцию

Подставим ток в формулу мощности и выразим её через сопротивление нагрузки:

P = I^2R = \left(\dfrac{\varepsilon}{r+R}\right)^2 R = \dfrac{\varepsilon^2 R}{(r+R)^2}

Числа из условия - $\varepsilon = 50$ и $r = 1$ - дают функцию одной переменной:

P(R) = \dfrac{2500R}{(R+1)^2}

Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому область допустимых значений - луч $R \geqslant 0$ ; на нём знаменатель в ноль не обращается.

Находим производную

По правилу дифференцирования дроби:

P'(R) = \dfrac{2500(R+1)^2 - 2500R \cdot 2(R+1)}{(R+1)^4} = \dfrac{2500(R+1)\big[(R+1) - 2R\big]}{(R+1)^4} = \dfrac{2500(1 - R)}{(R+1)^3}

Проверяем знаки производной

При $R \geqslant 0$ знаменатель $(R+1)^3$ положителен, поэтому знак всей дроби задаёт скобка $1 - R$ : при $0 \leqslant R < 1$ производная положительна и функция возрастает, при $R > 1$ - отрицательна и функция убывает. Знак меняется с плюса на минус, значит $R = 1$ - точка максимума, и наибольшее значение на всём луче $[0;\ +\infty)$ достигается именно в ней.

Возвращаемся к вопросу

Спрашивают мощность, а не сопротивление, поэтому подставляем $R = 1$ в функцию:

P(1) = \dfrac{2500 \cdot 1}{(1+1)^2} = \dfrac{2500}{4} = 625

Ответ: $625$ Вт.

Пример 2. Коробка наибольшего объёма

Условие: Из квадратного листа жести со стороной $30$ см делают открытую сверху коробку: по углам вырезают четыре одинаковых квадрата со стороной $x$ см и загибают получившиеся борта. Найдите наибольший возможный объём такой коробки. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Лист с вырезанными углами и собранная коробка

Пример 3. Наименьшая себестоимость

Условие: Мастерская выпускает за месяц $x$ одинаковых изделий. Суммарные затраты на выпуск (в тысячах рублей) описываются формулой $C(x) = 0{,}25x^2 + 5x + 100$ . Найдите наименьшие возможные затраты на одно изделие. Ответ дайте в тысячах рублей.

Пример 4. Задача из другого предмета: концентрация препарата

Условие: После приёма лекарства его концентрация в крови (в мг/л) меняется по формуле $c(t) = \dfrac{12t}{t^2 + 4}$ , где $t \geqslant 0$ - время в часах, прошедшее с момента приёма. Через какое время после приёма концентрация препарата будет наибольшей? Ответ дайте в часах.

Типичные ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Критическую точку нашли - а максимум ли это?

Ошибка: решить $f'(x) = 0$ , получить $x_0$ и сразу писать ответ. Равенство $f'(x_0) = 0$ выполняется и в точке минимума, и там, где экстремума нет вовсе - например, у функции $y = x^3$ в нуле. Правильно: выписать знак производной слева и справа от $x_0$ и сказать словами: «функция возрастает на ..., убывает на ..., значит в точке $x_0$ максимум». По критериям это не украшение, а часть обоснования.

Приёмы

СОВЕТ

Когда вершина параболы быстрее производной

Если после подстановки данных получилась квадратичная функция, производную можно не считать. Пусть на три стороны прямоугольного участка у стены есть $60$ м сетки, а $x$ - сторона, перпендикулярная стене:

S(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x, \qquad 0 < x < 30

Ветви направлены вниз ( $a = -2 < 0$ ), вершина: $x_0 = -\dfrac{60}{2 \cdot (-2)} = 15$ , откуда $S(15) = 15 \cdot 30 = 450$ м $^2$ . Ссылка на направление ветвей - полноценное обоснование: знаки производной проверять уже не нужно.

СОВЕТ

Замена, если переменная входит только в чётных степенях

Второй прототип демоверсии - амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке:

A = \dfrac{k\alpha_0\tau^2}{\sqrt{(\tau^2 - T^2)^2 + nT^2\tau^2}}

Период волны $\tau$ встречается здесь только в чётных степенях, поэтому замена $u = \tau^2$ убирает четвёртые степени. А корень снимается ещё раньше: $A > 0$ , значит $A$ и $A^2$ достигают наибольшего значения в одной и той же точке - исследовать удобнее $A^2$ . При $T = 14{,}7$ с и $n = 0{,}0792$ ответ получается ровным: $\tau = \dfrac{T}{\sqrt{1 - n/2}} = \dfrac{14{,}7}{0{,}98} = 15$ с.

Как оформить на 2 балла

Критерии ФИПИ для задания 17 короткие: $2$ балла - обоснованно получен верный ответ; $1$ балл - ответ неверен из-за вычислительной ошибки, но последовательность всех шагов решения верна; $0$ - во всех остальных случаях. Отдельного балла «за найденную производную» не предусмотрено, поэтому решение без обоснования характера экстремума - это ноль, а не единица. Чертёж рисовать не обязательно: обоснованием служит текст про знаки производной. А вот черновик эксперт не читает - все шесть пунктов ниже должны быть в чистовике.

Что обозначено за переменную - одна строка: «пусть $R$ - сопротивление нагрузки в омах».
Функция в явном виде - с уже подставленными числами из условия.
Область допустимых значений - записанная неравенством или промежутком.
Производная - выписана и упрощена: общий множитель вынесен, знаменатель свёрнут.
Обоснование экстремума - знаки производной по обе стороны от критической точки и вывод словами.
Ответ - та величина, о которой спрашивали, с единицами измерения.

Проверь себя

Чем задание 17 отличается от задания 13?
Производная функции $P$ обратилась в ноль в точке $R = 1$ . Что делать дальше?
В задаче про генератор получили $R = 1$ . Что записать в ответ, если спрашивают наибольшую мощность?
Из квадратного листа со стороной $30$ см вырезают по углам квадраты со стороной $x$ . Какова область допустимых значений?
Прибыль задана формулой $\Pi(x) = -2x^2 + 40x - 50$ . Каким приёмом быстрее найти точку максимума?

Задание 17: Прикладная задача на оптимизацию

О задании

Какие темы встречаются

Основные формулы

Общий алгоритм решения

Примеры решения

Составляем функцию

Находим производную

Проверяем знаки производной

Возвращаемся к вопросу

Составляем функцию объёма

Находим производную

Проверяем знаки производной

Считаем объём

Составляем функцию

Находим производную и критическую точку

Проверяем знаки производной

Считаем себестоимость

Находим производную

Проверяем знаки производной

Возвращаемся к вопросу

Типичные ошибки

Приёмы

Как оформить на 2 балла