Задачи на движение по прямой

Строим таблицу и вводим переменную

Пусть $x$ км/ч - скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго - $(x + 20)$ км/ч. Оба проехали по $240$ км.

Составляем уравнение

Второй выехал на $1$ час позже, а прибыли они одновременно - значит, второй провёл в пути на $1$ час меньше, чем первый. Из бóльшего времени (первого) вычитаем меньшее (второго):

Решаем уравнение

Умножим обе части на общий знаменатель $x(x + 20)$ (знаменатели не равны нулю, так как $x > 0$):

Подбираем корни по теореме Виета

Произведение корней равно $-4800$, сумма равна $-20$. Подходит пара $-80$ и $60$: их произведение $-4800$, сумма $-20$. Отрицательный корень отбрасываем - скорость не бывает отрицательной. Остаётся $x = 60$.

Проверка: первый едет $\dfrac{240}{60} = 4$ часа, второй $\dfrac{240}{80} = 3$ часа. Разница ровно $1$ час - сходится.

Ответ: 60

Находим общий путь

Здесь не нужно составлять сложные уравнения. Достаточно применить формулу средней скорости: весь путь делим на всё время.

Находим время на каждом участке

• Первый: $t_1 = \dfrac{120}{60} = 2$ часа.
• Второй: $t_2 = \dfrac{200}{100} = 2$ часа.
• Третий: $t_3 = \dfrac{130}{130} = 1$ час.

Находим общее время

Вычисляем среднюю скорость

Проверка: среднее арифметическое скоростей $\dfrac{60 + 100 + 130}{3} \approx 96{,}7$ не совпадает с $90$ - и правильно, ведь участки разной длины.

Ответ: 90

Разбираемся с расстояниями

В задачах на встречное движение с конкретной точкой встречи выгоднее не составлять большое уравнение, а идти пошагово от известных чисел.

Автомобили встретились в $220$ км от города A. Значит, первый проехал до встречи $220$ км. Второй выехал из B и до точки встречи прошёл:

Работаем со вторым автомобилем (о нём известно всё)

Он проехал $240$ км со скоростью $80$ км/ч. Время в пути:

Переходим к первому автомобилю

Второй выехал на $1$ час позже. Значит, к моменту встречи первый был в пути на $1$ час дольше:

Находим скорость первого

Проверка: через $4$ часа после выезда первого сумма пройденных расстояний - $55 \cdot 4 + 80 \cdot 3 = 220 + 240 = 460$ км. Сходится.

Ответ: 55

Переводим единицы и находим чистое время движения

$20$ минут $= \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}$ часа. Поезд не двигался $\dfrac{1}{3}$ часа, значит в движении он был:

Строим таблицу по двум участкам

Пусть $x$ км - расстояние от A до промежуточной станции. Тогда оставшийся путь - $(200 - x)$ км.

Составляем уравнение

Сумма времён на двух участках равна чистому времени движения:

Решаем уравнение

Умножим обе части на $300$ (общий знаменатель $50$, $60$ и $3$):

Проверка: до остановки поезд ехал $\dfrac{100}{50} = 2$ часа, после - $\dfrac{100}{60} = \dfrac{5}{3}$ часа. Плюс $\dfrac{1}{3}$ часа стоянки. Итого $2 + \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{3} = 2 + 2 = 4$ часа - сходится.

Ответ: 100