Вклад - самый предсказуемый сюжет тринадцатого номера. Банк раз в период увеличивает сумму на счёте на один и тот же процент, и больше ничего не происходит: ни платежей, ни остатка долга - только умножение. Такие задачи решаются в одно-два действия и почти всегда дают круглый ответ. Разобраться надо в двух вещах: как проценты превращаются в множитель и что именно спрашивают.
Коэффициент вместо процентов
Проценты неудобно перемножать и совсем неудобно возводить в степень. Переводи ставку в множитель первым делом.
Начисление процентов - это одно умножение, повторённое столько раз, сколько было периодов.
Разница копится тихо: за первый год оба способа дают одно и то же, а за пять лет расхождение больше 11 тысяч на вложенные сто тысяч.
Капитализация чаще раза в год
Проценты не обязаны начисляться раз в год: бывает раз в полгода, квартал или месяц. Годовая ставка делится на число периодов, но и начислений становится ровно столько же.
Обратные задачи: что спрашивают
Формула Sn=S0⋅kn связывает четыре величины. Три дают в условии, четвёртую просят найти - отсюда и все типы задач темы.
Четвёртый вопрос - «через сколько лет вклад превысит такую-то сумму» - решается перебором: считай S1, S2, S3 подряд, пока не перескочишь порог. Логарифмы не нужны, сроки короткие.
Пополнения: считай по цепочке
Если вкладчик докладывает деньги, замкнутая формула перестаёт работать: у каждого взноса свой срок. Зато работает пошаговый пересчёт.
Примеры решения
Пример 1. Сколько накопится
Условие:
Родители открыли вклад на 300000 рублей под 10% годовых с ежегодной капитализацией: в конце каждого года начисленные проценты прибавляются к сумме вклада. Вклад не пополняли и деньги с него не снимали. Какая сумма (в рублях) будет на вкладе через три года?
Переводим ставку в коэффициент
k=1+10010=1,1
Считаем по формуле
Начислений три, пополнений нет:
S3=300000⋅1,13=300000⋅1,331=399300
Проверяем по годам
300000→330000→363000→399300: каждый шаг - умножение на 1,1.
Ответ: 399300
Пример 2. Сколько положили изначально
Условие:
Вклад открыт под 20% годовых с ежегодной капитализацией процентов. Через два года на счёте оказалось 288000 рублей; вклад не пополнялся, деньги не снимались. Сколько рублей было положено на счёт изначально?
Записываем модель
k=1,2, начислений два, поэтому
S0⋅1,22=288000
Делим
1,22=1,44, значит
S0=1,44288000=14428800000=200000
Проверяем
200000⋅1,2=240000; 240000⋅1,2=288000. Сходится.
Ответ: 200000
Пример 3. Под сколько процентов лежал вклад
Условие:
Вклад 400000 рублей пролежал в банке два года; проценты начислялись раз в год по одной и той же ставке и прибавлялись к вкладу. Через два года на счёте стало 441000 рублей. Сколько процентов годовых начислял банк?
Выражаем коэффициент
400000⋅k2=441000⟹k2=400000441000=400441
Извлекаем корень
И числитель, и знаменатель - полные квадраты: 441=212, 400=202. Поэтому
k=400441=2021=1,05
Корень берём положительный: коэффициент начисления не бывает отрицательным.
Возвращаемся к процентам
k=1+100r=1,05⟹r=5
Проверка.400000⋅1,05=420000; 420000⋅1,05=441000.
Ответ: 5
Пример 4. Две разные ставки подряд
Условие:
Инвестор вложил 500000 рублей. За первый год вложение выросло на 10%, а за второй - ещё на 20% от суммы, накопившейся к концу первого года. На сколько процентов выросла первоначальная сумма за два года?
Перемножаем коэффициенты
Ставки разные, но механика та же: каждый год сумма умножается на свой коэффициент.
1,1⋅1,2=1,32
Итоговый множитель 1,32 означает рост на 32%.
Проверяем в рублях
500000⋅1,1=550000 к концу первого года, 550000⋅1,2=660000 к концу второго.
500000660000−500000=0,32
Обрати внимание: 10+20=30 - неверно. Лишние два процента - это 20% от прироста первого года.
Ответ: 32
Пример 5. Капитализация раз в полгода
Условие:
Вклад 200000 рублей открыт на один год под 24% годовых с капитализацией раз в полгода. Какая сумма (в рублях) будет на счёте через год?
Считаем ставку за период
Период - полугодие, m=2, за период начисляется 224=12%:
k=1,12,n=2
Считаем итог
S=200000⋅1,122=200000⋅1,2544=250880
Пошагово: 200000⋅1,12=224000 через полгода; 224000⋅1,12=250880 через год.
Сравниваем с годовой капитализацией
При начислении раз в год вышло бы 200000⋅1,24=248000 - на 2880 рублей меньше. Ради этой разницы условие и уточняет частоту.
Ответ: 250880
Пример 6. Вклад с пополнениями
Условие:
Семья открыла вклад на 100000 рублей под 20% годовых с ежегодной капитализацией процентов. В конце первого и в конце второго года, сразу после начисления процентов, семья дополнительно вносила на счёт по 50000 рублей. Больше вклад не пополнялся. Какая сумма (в рублях) будет на счёте в конце третьего года?
Фиксируем порядок операций
k=1,2. По условию сначала начисление, потом взнос, значит шаг: Si+1=Si⋅1,2+Vi.
Идём по годам
Год 1.100000⋅1,2=120000, взнос: 120000+50000=170000.
Год 2.170000⋅1,2=204000, взнос: 204000+50000=254000.
Год 3.254000⋅1,2=304800, пополнения нет.
Проверяем вторым способом
Каждая сумма растёт свой срок: начальные 100000 - три года, первый взнос - два, второй - один.
100000⋅1,23+50000⋅1,22+50000⋅1,2=304800
Оба способа дали одно число.
Ответ: 304800
Частые ошибки
Что запомнить
Ставка сразу превращается в коэффициент k=1+100r; дальше вся тема - это степени k.
Без пополнений работает Sn=S0⋅kn, где n - число НАЧИСЛЕНИЙ, а не лет: при капитализации m раз в год ставка за период mr, а начислений за год m.
Три вопроса по одной формуле: итог - умножаем, начальную сумму - делим, ставку - извлекаем корень степени n из S0Sn.
Пополнения ломают замкнутую формулу, но не пересчёт по шагам: Si+1=Si⋅k+Vi; порядок «начисление - взнос» диктует условие.
Коэффициенты за разные периоды ПЕРЕМНОЖАЮТСЯ, проценты - нет.
Проверь себя
Вклад 200000 рублей открыт под 15% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет на счёте через два года?
Ставка 10% годовых, ежегодная капитализация. Через три года на счёте 133100 рублей. Сколько положили изначально?
Банк даёт 24% годовых с капитализацией раз в квартал. На сколько процентов растёт вклад за один квартал?
Вклад 100000 рублей под 10% годовых, но проценты НЕ капитализируются: каждый год начисляется 10% от первоначальной суммы. Сколько на счёте через три года?
Вклад пополняют в конце каждого года суммой V сразу ПОСЛЕ начисления процентов. Какая запись верна?
