Решение прямоугольного треугольника

Решение прямоугольного треугольника (Задание 1)

Задание 1 открывает первую часть ЕГЭ по математике и проверяет знание базовой планиметрии. Прямоугольный треугольник - одна из самых частых фигур на экзамене. Знание его свойств пригодится не только здесь, но и в стереометрии (задания 3 и 15), и в сложной планиметрии (задание 18).

В этом конспекте собрано всё, что нужно для уверенного решения задач на углы, катеты, гипотенузу, высоты и медианы в прямоугольном треугольнике.

Основные формулы и теоремы

Прямоугольный треугольник состоит из двух катетов (сторон, образующих прямой угол) и гипотенузы (самой длинной стороны, лежащей напротив прямого угла). Сумма острых углов всегда равна $90^\circ$.

Огромную роль в прямоугольном треугольнике играют тригонометрические функции. Они связывают углы и длины сторон.

Запоминание нескольких пифагоровых троек ускоряет вычисления в разы: их не нужно проверять теоремой Пифагора, ответ уже в памяти.

Самый популярный сюжет в первом задании - линии, проведённые из вершины прямого угла: высота, биссектриса и медиана. У них есть жёсткие свойства.

Алгоритм решения

Задачи этого типа алгоритмичны. Если следовать чёткому плану, запутаться почти невозможно.

Примеры

Разберём три задачи: от прямого применения теоремы Пифагора до классических задач на углы между линиями из прямого угла.

Пример 1. Поиск тригонометрической функции

Условие: В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $BC = 6$. Найди $\cos A$.

Пример 2. Высота к гипотенузе

Условие: В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты равны $AC = 9$ и $BC = 12$. Из вершины прямого угла $C$ опущена высота $CH$ на гипотенузу. Найди длину $CH$.

Пример 3. Угол между высотой и медианой

Условие: Острый угол $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $21^\circ$. Найди величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дай в градусах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Если известны две стороны прямоугольного треугольника, третья всегда находится по теореме Пифагора. Держи в голове тройки $(3,\, 4,\, 5)$, $(5,\, 12,\, 13)$, $(8,\, 15,\, 17)$ и их кратные - они экономят время.
• Биссектриса прямого угла даёт углы $45^\circ$ и $45^\circ$.
• Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы и разбивает треугольник на два равнобедренных. Замечай равные углы при их основаниях.
• Высота к гипотенузе: $h = \dfrac{ab}{c}$, а также $h^2 = p \cdot q$, где $p$ и $q$ - проекции катетов.
• Угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен модулю разности острых углов треугольника: $\angle MCH = |\angle A - \angle B|$. Быстрая формула для самопроверки.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $26$. Чему равна медиана, проведённая из вершины прямого угла?
   • $13$
   • $26$
   • $6{,}5$
   • Зависит от катетов
2. Катеты прямоугольного треугольника равны $3$ и $4$. Чему равна высота, опущенная на гипотенузу?
   • $2{,}4$
   • $2{,}5$
   • $3{,}5$
   • $5$
3. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 13$, $BC = 5$. Чему равен $\cos A$?
   • $\dfrac{5}{13}$
   • $\dfrac{12}{13}$
   • $\dfrac{5}{12}$
   • $\dfrac{12}{5}$
4. Острые углы прямоугольного треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$. Чему равен угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла?
   • $30^\circ$
   • $45^\circ$
   • $60^\circ$
   • $15^\circ$

Проверить