Преобразования числовых логарифмических выражений

Содержание

Преобразования числовых логарифмических выражений
Основные формулы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене

Преобразования числовых логарифмических выражений

Задание 8 в ЕГЭ по математике проверяет твоё умение работать с выражениями. Примерно в четверти вариантов на этой позиции встречаются логарифмы. Главная цель таких задач - превратить на первый взгляд громоздкое выражение со страшными числами в аккуратное целое число или конечную десятичную дробь, которую можно записать в бланк.

Для успешного решения не нужно строить графики или решать сложные уравнения. Достаточно знать свойства логарифмов и уметь применять их как слева направо, так и справа налево.

Основные формулы

Все вычисления в этих задачах строятся на небольшом наборе базовых свойств. Выучи их наизусть - это фундамент.

СОВЕТ

Три равенства, без которых не решить ни одной задачи

Запомни их до автоматизма. Любое вычисление логарифма в задании 8 в конце сводится к одной из этих строк.

Равенство	Почему так
$\log_a 1 = 0$	Любое число в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$ .
$\log_a a = 1$	В какую степень надо возвести $a$ , чтобы получить $a$ ? В первую.
$\log_a a^n = n$	Если под логарифмом стоит степень самого основания - степень и есть ответ.

Алгоритм решения

В задании 8 тебе никогда не дадут нерешаемое выражение. Если числа кажутся «плохими», значит, их нужно сгруппировать.

АЛГОРИТМ

Как решать логарифмическое выражение

Проверь основания. Если у всех логарифмов одинаковое основание - отлично, переходи к шагу 3.
Уравняй основания. Если основания разные (например, $2$ и $4$ , или $3$ и $\sqrt{3}$ ), представь их как степени одного и того же числа. Вынеси эти степени вперёд по формулам.
Примени свойства сложения и вычитания. Сгруппируй логарифмы: сложи суммы в произведения, разности - в дроби.
Сверни дроби. Если видишь деление одного логарифма на другой с тем же основанием, примени формулу перехода к новому основанию в обратную сторону.
Вычисли итоговое значение. В самом конце у тебя должен остаться один простой логарифм вида $\log_2 32$ . Вычисли его, ответив на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?».

Примеры решения

Разберём три типичные задачи от простого к сложному. Все они составлены по мотивам реальных экзаменационных задач.

Пример 1. Сложение и вычитание

Найдите значение выражения

\log_4 10{,}4 + \log_4 10 - \log_4 6{,}5

Пример 2. Работа со степенями и корнями

Найдите значение выражения

15 \cdot \log_{\sqrt[5]{3}} 3

Пример 3. Комбинация свойств и смена основания

Найдите значение выражения

\frac{\log_8 54}{\log_8 6} + \log_6 \frac{2}{3}

Частые ошибки

Что запомнить

Вижу сумму логарифмов $\implies$ умножаю их аргументы.
Вижу разность логарифмов $\implies$ делю первый аргумент на второй.
Вижу корень $\implies$ перевожу в дробную степень и выношу вперёд.
Вижу деление логарифмов с одинаковым основанием $\implies$ схлопываю в один логарифм.

СОВЕТ

Таблица степеней для распознавания аргументов

В задании 8 почти всегда ответ - это $\log$ от степени своего основания. Чтобы увидеть такую степень с первого взгляда, держи в голове эти значения.

Степени двойки: $2^2 = 4,\; 2^3 = 8,\; 2^4 = 16,\; 2^5 = 32,\; 2^6 = 64,\; 2^7 = 128,\; 2^8 = 256,\; 2^9 = 512,\; 2^{10} = 1024$ .
Степени тройки: $3^2 = 9,\; 3^3 = 27,\; 3^4 = 81,\; 3^5 = 243$ .
Степени пятёрки: $5^2 = 25,\; 5^3 = 125,\; 5^4 = 625$ .
Степени шестёрки и семёрки: $6^2 = 36,\; 6^3 = 216,\; 7^2 = 49,\; 7^3 = 343$ .
Степени десятки: $10^2 = 100,\; 10^3 = 1000,\; 10^4 = 10\,000$ (для десятичных логарифмов $\lg$ ).
Разложения составных чисел: $12 = 2^2 \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^2$ , $24 = 2^3 \cdot 3$ , $36 = 6^2 = 2^2 \cdot 3^2$ , $54 = 2 \cdot 3^3$ , $72 = 2^3 \cdot 3^2$ , $108 = 2^2 \cdot 3^3$ .

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 8

Время выполнения: 3-5 минут.
Очередность: Это базовое задание, решай его в первую очередь вместе с остальной первой частью.
Проверка: Если в ответе получился логарифм, который не считается до целого числа или конечной десятичной дроби (например, $\log_2 5$ ), значит, ты где-то ошибся. В первой части ЕГЭ ответ всегда должен быть красивым числом. Вернись на шаг назад и проверь арифметику при сокращении дробей или умножении десятичных чисел.
Быстрая прикидка: При работе с десятичными дробями внутри логарифмов (как в первом примере) умножай их на $10$ , $100$ и так далее, чтобы перевести в целые числа. Вероятность ошибки при сокращении обыкновенных дробей в разы ниже, чем при делении десятичных уголком.

Проверь себя

Чему равно $5^{\log_5 12}$ ?
Чему равна сумма $\log_3 x + \log_3 y$ (при $x>0$ , $y>0$ )?
Как правильно вынести степень из основания: $\log_{2^3} 5 = \;?$
Чему равна дробь $\dfrac{\log_8 54}{\log_8 6}$ ?

Преобразования числовых логарифмических выражений

Преобразования числовых логарифмических выражений

Основные формулы

Алгоритм решения

Примеры решения

Проверяем основания

Группируем

Вычисляем дробь

Итоговый логарифм

Избавляемся от корня в основании

Выносим степень основания

Вычисляем

Анализируем выражение

Применяем формулу смены основания

Собираем выражение

Применяем свойство сложения

Вычисляем аргумент

Итоговый логарифм

Частые ошибки

Что запомнить

Стратегия на экзамене