Задание 18: Планиметрия

Пункт а: доказываем, что точки лежат на одной окружности

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $AEC$. Оба они являются прямоугольными, так как $AD$ и $CE$ - высоты ($\angle ADC = \angle AEC = 90^\circ$). Оба прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу $AC$. Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Значит, середина отрезка $AC$ равноудалена от точек $A, C, D$ и $E$. Следовательно, точки $A, E, D, C$ лежат на одной окружности с диаметром $AC$. Утверждение доказано.

Пункт б: доказываем подобие треугольников

Рассмотрим $\triangle EBD$ и $\triangle ABC$. Из доказанного в пункте «а» следует, что четырёхугольник $AEDC$ вписан в окружность. По свойству вписанного четырёхугольника $\angle AED + \angle C = 180^\circ$. При этом углы $AED$ и $DEB$ - смежные, их сумма также равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle DEB = 180^\circ - \angle AED = \angle C$. Угол $B$ у треугольников $EBD$ и $ABC$ - общий. Значит, $\triangle EBD \sim \triangle ABC$ по двум углам.

Находим коэффициент подобия и ED

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению прилежащих к общему углу сторон. В прямоугольном $\triangle CEB$:

Значит, коэффициент подобия $k = \cos B = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$.

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

Подставим известное значение $AC = 12$:

Ответ: б) $6$.

Пункт а: доказываем подобие треугольников

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Значит, $\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$. Углы $ABC$ и $KBC$ являются смежными, поэтому $\angle KBC = 180^\circ - \angle ABC$. Отсюда получаем, что $\angle KBC = \angle ADC$ (то есть $\angle KDA$).

Рассмотрим треугольники $KBC$ и $KDA$:

1. $\angle K$ - общий.
2. $\angle KBC = \angle KDA$ (доказано выше). Следовательно, $\triangle KBC \sim \triangle KDA$ по двум углам. Утверждение доказано.

Пункт б: находим коэффициент подобия

Из подобия треугольников $KBC$ и $KDA$ следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$. Сторона $BC$ лежит напротив общего угла $K$ в малом треугольнике, а сторона $AD$ - напротив того же угла в большом.

По условию $AD = 4 \cdot BC$, значит:

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Составляем уравнение на площади

Площадь большого треугольника $KDA$ складывается из площади малого треугольника $KBC$ и площади четырёхугольника $ABCD$:

Пусть $S_{KBC} = S$. Тогда $S_{KDA} = S + 45$. Подставим в отношение площадей:

Площадь треугольника $KBC$ равна $3$.

Ответ: б) $3$.

Пункт а: доказываем подобие треугольников

Рассмотрим треугольники $MTA$ и $MBT$:

1. $\angle M$ - общий для обоих треугольников.
2. $\angle MTA$ - это угол между касательной $MT$ и хордой $TA$. По теореме об угле между касательной и хордой он равен вписанному углу $\angle TBA$, опирающемуся на дугу $TA$. Но $\angle TBA = \angle MBT$ (это один и тот же угол).

Значит, $\angle MTA = \angle MBT$.

Следовательно, $\triangle MTA \sim \triangle MBT$ по двум углам. Утверждение доказано.

Пункт б: применяем теорему о касательной и секущей

Из подобия треугольников, доказанного в пункте «а», следует равенство отношений соответствующих сторон:

Из этой пропорции получается теорема о касательной и секущей:

Подставим известные значения:

Находим длину хорды

Поскольку точка $A$ лежит между $M$ и $B$, длина хорды $AB$ равна:

Ответ: б) $9$.