Интервальная оценка доли

Содержание

Интервальная оценка доли (Задание 6)
Частота как оценка доли
Правило «частота плюс-минус два сигма»
Сколько нужно опросить
Алгоритм
Примеры решения
Частые ошибки

Интервальная оценка доли (Задание 6)

Социологи не спрашивают всех - они опрашивают несколько сотен человек и по ним судят обо всём городе. Доля в выборке почти наверняка не совпадёт с долей в совокупности, поэтому результат публикуют не числом, а промежутком: «от $18$ до $22$ процентов». Тема отвечает на два вопроса: как построить такой промежуток по итогам опроса и скольких надо опросить, чтобы он получился достаточно узким. Формулы в условии задания 6 приводят целиком - остаётся не ошибиться в подстановке.

Частота как оценка доли

Выборка и частота как оценка неизвестной доли

Правило «частота плюс-минус два сигма»

Частота и интервал вокруг неё на числовой прямой

ЗАМЕЧАНИЕ

Откуда берётся «около 95 %»

Число успехов в большой серии независимых испытаний распределено почти нормально, а у нормальной величины в коридор шириной в две сигмы попадает около $95\,\%$ значений - это правило двух сигм из конспекта «Нормальное распределение». Величина $\sigma = \sqrt{\dfrac{w(1-w)}{n}}$ и есть стандартное отклонение частоты. Приближение годится, когда и $m$ , и $n - m$ не слишком малы; в задачах это всегда так.

Сколько нужно опросить

Задачу часто разворачивают наоборот: погрешность задана, найти объём выборки. Всё следует из неравенства $2\sigma \leqslant \delta$ .

График произведения w(1 − w) и его максимум

Один и тот же результат опроса при трёх объёмах выборки

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на интервальную оценку доли

Найди частоту $w = \dfrac{m}{n}$ и сразу запиши её десятичной дробью.
Посчитай $w(1 - w)$ - обычно это круглое число вроде $0{,}16$ или $0{,}09$ .
Раздели на $n$ и извлеки корень: $\sigma = \sqrt{\dfrac{w(1-w)}{n}}$ . Корень обязан извлекаться точно; числа в задаче подобраны именно так.
Удвой: погрешность равна $2\sigma$ .
Ответь на заданный вопрос. Нижняя граница - $w - 2\sigma$ , верхняя - $w + 2\sigma$ , погрешность - $2\sigma$ .
Переведи в проценты, если попросили. Умножь на $100$ : $0{,}216$ - это $21{,}6\,\%$ .

Примеры решения

Пример 1. Нижняя граница

Условие: Из $100$ случайно выбранных покупателей маркетплейса $20$ забрали заказ в постамате. Найдите нижнюю границу интервальной оценки доли таких покупателей.

Пример 2. Верхняя граница

Условие: Из $400$ случайно выбранных жильцов района $360$ передали показания счётчиков вовремя. Найдите верхнюю границу интервальной оценки доли таких жильцов.

Пример 3. Ответ в процентах

Условие: Из $2500$ случайно выбранных зрителей матча $500$ купили билет через приложение клуба. Найдите верхнюю границу интервальной оценки доли таких зрителей. Ответ дайте в процентах.

Пример 4. Объём выборки в худшем случае

Условие: Городской отдел образования собирается опросить случайно выбранных одиннадцатиклассников и оценить долю тех, кто сдаёт профильную математику. Погрешность оценки не должна превышать $0{,}02$ при любом результате опроса. Какое наименьшее число школьников нужно опросить?

Пример 5. Во сколько раз увеличить выборку

Условие: Управляющая компания опросила $900$ жильцов и оценила долю сторонников установки шлагбаума с некоторой погрешностью. Компания хочет повторить опрос так, чтобы погрешность уменьшилась ровно вдвое. Скольких жильцов нужно опросить во втором опросе, если частота ответов «за» останется прежней?

Частые ошибки

ИТОГ

Что запомнить

Частота $w = \dfrac{m}{n}$ - точечная оценка доли; сама по себе она в ответ не идёт.
$\sigma = \sqrt{\dfrac{w(1 - w)}{n}}$ , погрешность равна $2\sigma$ , границы - $w \pm 2\sigma$ , надёжность около $95\,\%$ .
Известна частота: $n \geqslant \dfrac{4w(1 - w)}{\delta^2}$ .
Частота неизвестна: $w(1 - w) \leqslant \dfrac{1}{4}$ , откуда $n \geqslant \dfrac{1}{\delta^2}$ .
Погрешность пропорциональна $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : вдвое точнее - вчетверо больше опрошенных.
Объём выборки округляют только вверх.

СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 4 минуты. Формулу дают в условии; больше всего времени уходит на корень.
Первый ход: выпиши $m$ , $n$ , $w$ и $w(1-w)$ в строку. Дальше всё механически.
Корень по частям: $\sqrt{\dfrac{0{,}16}{2500}} = \dfrac{\sqrt{0{,}16}}{\sqrt{2500}} = \dfrac{0{,}4}{50}$ . Так не нужен калькулятор и не теряются нули.
Проверка диапазоном: обе границы обязаны лежать между $0$ и $1$ . Вышли за - ошибка в сигме.
Проверка симметрией: $w$ стоит ровно посередине между границами. Сложи их и подели пополам - должна получиться частота.
Перечитай вопрос: нижняя граница, верхняя, погрешность или объём выборки - четыре разных ответа из одной и той же сигмы.

Проверь себя

Из $400$ опрошенных $80$ ответили «да». Чему равна частота $w$ ?
При $w = 0{,}5$ и $n = 2500$ чему равна погрешность $2\sigma$ ?
Частота равна $0{,}3$ , погрешность равна $0{,}05$ . Каковы границы интервальной оценки?
Какое наибольшее значение может принимать произведение $w(1 - w)$ ?
Опрос из $500$ человек дал погрешность $\delta$ . Скольких надо опросить, чтобы погрешность стала втрое меньше при той же частоте?

Интервальная оценка доли

Интервальная оценка доли (Задание 6)

Частота как оценка доли

Правило «частота плюс-минус два сигма»

Сколько нужно опросить

Алгоритм

Примеры решения

Считаем частоту

Находим сигму

Берём нижнюю границу

Считаем частоту

Находим сигму

Берём верхнюю границу

Считаем частоту и сигму

Находим верхнюю границу

Переводим в проценты

Оцениваем погрешность сверху

Составляем неравенство

Выбираем наименьшее подходящее

Смотрим, от чего зависит погрешность

Переводим требование в условие на $n$

Частые ошибки

Интервальная оценка доли

Интервальная оценка доли (Задание 6)

Частота как оценка доли

Правило «частота плюс-минус два сигма»

Сколько нужно опросить

Алгоритм

Примеры решения

Считаем частоту

Находим сигму

Берём нижнюю границу

Считаем частоту

Находим сигму

Берём верхнюю границу

Считаем частоту и сигму

Находим верхнюю границу

Переводим в проценты

Оцениваем погрешность сверху

Составляем неравенство

Выбираем наименьшее подходящее

Смотрим, от чего зависит погрешность

Переводим требование в условие на nnn

Частые ошибки

Переводим требование в условие на $n$