Логарифмические неравенства первой и второй степени

Содержание

Логарифмические неравенства первой и второй степени (Задание 16)
Суть темы и главное правило
Ключевые формулы и методы
Общий алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Логарифмические неравенства первой и второй степени (Задание 16)

Задание 16 проверяет твоё умение решать сложные неравенства. По статистике, логарифмические неравенства - абсолютные лидеры этого номера. Это задание оценивается в 2 первичных балла и требует безупречного алгебраического оформления.

Суть темы и главное правило

Логарифмическое неравенство - это неравенство, в котором неизвестная находится внутри логарифма или в его основании.

Главная сложность логарифмов заключается в их строгих ограничениях (ОДЗ). Логарифм существует далеко не всегда, и потеря ограничений - самая частая причина получения 0 баллов.

Базовое правило избавления от логарифмов (потенцирования) зависит от основания:

Если основание $a > 1$ , функция возрастает. Логарифмы можно отбросить, сохранив знак неравенства: $\log_a f(x) \geqslant \log_a g(x) \iff f(x) \geqslant g(x)$ (при условии $g(x) > 0$ ).
Если основание $0 < a < 1$ , функция убывает. Логарифмы отбрасываются со сменой знака неравенства: $\log_a f(x) \geqslant \log_a g(x) \iff f(x) \leqslant g(x)$ (при условии $f(x) > 0$ ).

Ключевые формулы и методы

Для решения задач второй части тебе регулярно будут нужны свойства логарифмов.

ВАЖНОЕ

Свойства логарифмов

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ (при $x > 0$ , $y > 0$ )
$\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ (при $x > 0$ , $y > 0$ )
$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$ (при $x > 0$ )
$\log_a(x^{2n}) = 2n \cdot \log_a|x|$ (чётная степень - модуль обязателен!)
$\log_{a^k} x = \dfrac{1}{k} \log_a x$
Переход к новому основанию: $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$

Метод рационализации

Это мощнейший инструмент, который позволяет заменять сложные логарифмические выражения на простые скобки. Он работает только если выражение сравнивается с нулём (или участвует в методе интервалов как множитель) и строго с учётом ОДЗ.

ВАЖНОЕ

Таблица рационализации (на ОДЗ)

Знак разности $\log_a f(x) - \log_a g(x)$ совпадает со знаком $(a - 1)(f(x) - g(x))$
Знак логарифма $\log_a f(x)$ совпадает со знаком $(a - 1)(f(x) - 1)$
Произведение $\log_a f(x) \cdot \log_b g(x)$ заменяется на $(a - 1)(f(x) - 1)(b - 1)(g(x) - 1)$
Дробь $\dfrac{\log_a f(x)}{\log_a g(x)}$ заменяется на $\dfrac{f(x) - 1}{g(x) - 1}$ (при одинаковом основании $(a-1)$ сокращается - работает для любого $a$ )

Переменное основание

Если неизвестная стоит в основании логарифма, потенцирование напрямую невозможно - основание может быть как больше, так и меньше единицы. Есть два подхода.

Подход 1. Разбиение на случаи. Неравенство $\log_{g(x)} f(x) \geqslant c$ равносильно совокупности двух систем:

\left[\begin{array}{l} \begin{cases} g(x) > 1 \\ f(x) \geqslant g(x)^c \end{cases} \\ \begin{cases} 0 < g(x) < 1 \\ f(x) \leqslant g(x)^c \end{cases} \end{array}\right.

В каждой системе не забудь ОДЗ: $f(x) > 0$ , $g(x) > 0$ , $g(x) \neq 1$ .

Подход 2. Рационализация. Если неравенство приведено к виду, где логарифмическое выражение сравнивается с нулём, можно применять таблицу рационализации напрямую - она уже учитывает знак основания через множитель $(a - 1)$ . Например:

\log_{g(x)} f(x) \geqslant 0 \iff (g(x) - 1)(f(x) - 1) \geqslant 0

(на ОДЗ: $f(x) > 0$ , $g(x) > 0$ , $g(x) \neq 1$ )

Рационализация здесь удобнее, потому что избавляет от разбора двух случаев.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 16

Запиши ОДЗ или ограничения. Выпиши все условия существования логарифмов, знаменателей и корней. Реши эту систему до конца или перейди к равносильным переходам.
Упрости неравенство. Приведи логарифмы к одному основанию, вынеси степени, разложи на множители.
Выбери метод. Если логарифмы одинаковые - сделай замену $t = \log_a x$ . Если неравенство дробно-логарифмическое - перенеси всё в одну сторону, приведи к общему знаменателю и примени метод рационализации.
Реши алгебраическое неравенство. Найди нули числителя и знаменателя, нанеси на ось, расставь знаки методом интервалов.
Сделай обратную замену. Реши простейшие неравенства для $x$ .
Пересеки с ОДЗ. Нанеси полученный результат и ОДЗ на одну числовую прямую. Запиши итоговый ответ.

Примеры решения

Ниже разобраны два классических типа: решение через свойства (с равносильными переходами) и метод замены переменной.

Пример 1. Свойства логарифмов и равносильные переходы

Условие: Решите неравенство $2\log_2(x\sqrt{5}) - \log_2\left(\dfrac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_2\left(5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2\right)$ .

Находим ограничения (ОДЗ)

\begin{cases} x\sqrt{5} > 0 \\ \frac{x}{1-x} > 0 \\ 5x^2 + \frac{1}{x} - 2 > 0 \end{cases}

Из первого неравенства $x > 0$ . Тогда во втором знаменатель должен быть положительным: $1 - x > 0 \implies x < 1$ . Значит, $x \in (0;\, 1)$ . Третье неравенство пока не решаем (оно сложное), оно автоматически выполнится на следующем шаге.

Преобразуем неравенство

Внесем двойку в степень аргумента: $2\log_2(x\sqrt{5}) = \log_2(5x^2)$ . Перепишем исходное неравенство, перенеся минус вправо (чтобы избежать дробей внутри логарифма):

\log_2(5x^2) \leqslant \log_2\left(\frac{5x^3 - 2x + 1}{x}\right) + \log_2\left(\frac{x}{1-x}\right)

Применим формулу суммы логарифмов справа (на нашем ОДЗ оба аргумента положительны):

\log_2(5x^2) \leqslant \log_2\left(\frac{5x^3 - 2x + 1}{x} \cdot \frac{x}{1-x}\right)

Сократим на $x$ (ведь $x \neq 0$ ):

\log_2(5x^2) \leqslant \log_2\left(\frac{5x^3 - 2x + 1}{1-x}\right)

Потенцируем

Основание логарифма $2 > 1$ , знак сохраняется. Третье условие ОДЗ ( $5x^2 + \dfrac{1}{x} - 2 > 0$ ) проверять отдельно не нужно: на решениях неравенства правая часть $\dfrac{5x^3 - 2x + 1}{1-x} \geqslant 5x^2 > 0$ , значит аргумент логарифма положителен.

5x^2 \leqslant \frac{5x^3 - 2x + 1}{1-x}

Так как $x \in (0; 1)$ , знаменатель $1-x > 0$ . Имеем право домножить на него без смены знака:

5x^2(1-x) \leqslant 5x^3 - 2x + 1

5x^2 - 5x^3 \leqslant 5x^3 - 2x + 1

10x^3 - 5x^2 - 2x + 1 \geqslant 0

Решаем кубическое неравенство

Применим метод группировки:

5x^2(2x - 1) - (2x - 1) \geqslant 0 \implies (5x^2 - 1)(2x - 1) \geqslant 0

Найдем нули: $5x^2 = 1 \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$ . Нас интересует только отрезок $x \in (0; 1)$ . Расставим знаки на этом интервале:

Корень $-\frac{1}{\sqrt{5}}$ не входит в интервал.
Точки внутри: $x_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$ . Проверяем знаки на $(0;\, 1)$ : При $x = 0{,}1$ : $(-)\cdot(-) = +$ При $x = 0{,}48$ : $(+)\cdot(-) = -$ При $x = 0{,}8$ : $(+)\cdot(+) = +$

Нам нужно $\geqslant 0$ . Значит, подходят промежутки $(0;\, \frac{1}{\sqrt{5}}]$ и $[\frac{1}{2};\, 1)$ .

Пример 2. Метод замены переменной

Условие: Решите неравенство $1 + \dfrac{6}{\log_3 x - 3} + \dfrac{5}{\log_3^2 x - \log_3 (27x^6) + 12} \geqslant 0$ .

ОДЗ и преобразования

Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $27x^6 > 0$ . Значит, $x > 0$ . Упростим выражение $\log_3(27x^6)$ с помощью свойств логарифма:

\log_3(27x^6) = \log_3 27 + \log_3 x^6 = 3 + 6\log_3 x

(Заметь: мы вынесли чётную степень $6$ и по правилу должны поставить модуль $|x|$ , но так как по ОДЗ $x > 0$ , модуль раскрывается с плюсом: $|x| = x$ ).

Подставим в неравенство:

1 + \frac{6}{\log_3 x - 3} + \frac{5}{\log_3^2 x - (3 + 6\log_3 x) + 12} \geqslant 0

1 + \frac{6}{\log_3 x - 3} + \frac{5}{\log_3^2 x - 6\log_3 x + 9} \geqslant 0

Делаем замену переменной

Заметим формулу квадрата разности в знаменателе. Пусть $t = \log_3 x$ .

1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{(t - 3)^2} \geqslant 0

Приведем к общему знаменателю $(t - 3)^2$ :

\frac{(t - 3)^2 + 6(t - 3) + 5}{(t - 3)^2} \geqslant 0

\frac{t^2 - 6t + 9 + 6t - 18 + 5}{(t - 3)^2} \geqslant 0 \implies \frac{t^2 - 4}{(t - 3)^2} \geqslant 0

Применяем метод интервалов для $t$

Нули числителя: $t^2 - 4 = 0 \implies t = 2, t = -2$ (закрашенные точки). Нули знаменателя: $t - 3 = 0 \implies t = 3$ (выколотая точка, чётная кратность - знак не чередуется!).

Нам нужно $\geqslant 0$ , поэтому решения: $t \leqslant -2$ , либо $2 \leqslant t < 3$ , либо $t > 3$ .

Делаем обратную замену

$\log_3 x \leqslant -2 \implies \log_3 x \leqslant \log_3 \frac{1}{9} \implies x \leqslant \frac{1}{9}$ . С учетом ОДЗ: $x \in \left(0;\, \frac{1}{9}\right]$ .
$2 \leqslant \log_3 x < 3 \implies \log_3 9 \leqslant \log_3 x < \log_3 27 \implies 9 \leqslant x < 27$ .
$\log_3 x > 3 \implies x > 27$ .

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 16

Время выполнения: 15-20 минут.
Очерёдность: Решай сразу после 14 и 15 заданий. Это понятный алгоритмичный номер.
Проверка: Если ответ получился в виде красивых интервалов, возьми по одному числу из каждого промежутка и подставь в самое первое исходное неравенство. Это займет 2 минуты, но спасёт баллы.
Оформление: Не делай несколько логических шагов в уме. Эксперт должен чётко видеть: как найдено ОДЗ, как сделана замена, как решено неравенство для новой переменной, как сделана обратная замена. Рисуй оси для метода интервалов прямо в чистовике.

За что дают баллы

В 16 задании можно получить от 0 до 2 баллов:

2 балла: Ты выписал правильные ограничения, логично пришёл к верному ответу без математических ошибок.
1 балл: Решение абсолютно верное по логике, но допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2+3=6$ ). Либо получен ответ, который отличается от правильного только тем, что ты включил выколотую точку или выколол закрашенную (потерял граничную точку).
0 баллов: Ошибка в свойствах логарифмов, забыто ОДЗ, неверно применён метод интервалов или получен неправильный ответ без записей решения.

Проверь себя

При каком условии в неравенстве $\log_a f(x) \geqslant \log_a g(x)$ логарифмы отбрасываются со сменой знака?
Чему равно $\log_3(x^2)$ , если про знак $x$ ничего не известно (кроме $x \neq 0$ )?
На ОДЗ знак выражения $\log_a f(x)$ совпадает со знаком:
Решением неравенства $\dfrac{(x-5)^2}{x-2} \leqslant 0$ является: