Поиск

Линейные, квадратные, кубические уравнения

Содержание

Линейные, квадратные и кубические уравнения (Задание 7)

В первой части ЕГЭ (задание 7) проверяется умение решать простейшие уравнения. Чаще всего здесь встречаются показательные, логарифмические или иррациональные уравнения. Но за ними скрывается фундамент - линейные, квадратные и кубические уравнения. Без них не решится практически ни одна задача второй части.

В задании 7 такие уравнения маскируются: квадратное может прийти в виде равенства двух скобок, кубическое - в виде скобки в третьей степени. Умение быстро их распознавать и решать без ошибок экономит время и даёт гарантированный балл.

Основные формулы

Для уверенного решения нужно наизусть знать формулы корней, теорему Виета и формулы сокращённого умножения.

Алгоритм решения

Примеры решения

Три типичные задачи от простой к более содержательной.

Пример 1. Линейное уравнение в виде пропорции

Условие: Найди корень уравнения x−34=x+25\dfrac{x - 3}{4} = \dfrac{x + 2}{5}.

Пример 2. Кубическое уравнение

Условие: Найди корень уравнения (x−2)3=−216(x - 2)^3 = -216.

Пример 3. Квадратное уравнение с выбором корня

Условие: Реши уравнение (x−4)2=3x−12(x - 4)^2 = 3x - 12. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запиши больший из них.

Пример 4. Кубическое уравнение с подбором корня

Условие: Найди наибольший корень уравнения x3−4x2+x+6=0x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0.

Частые ошибки

На этих уравнениях балл чаще всего теряется из-за знаков и свойств степеней.

Что запомнить

  1. (x+a)3=b(x+a)^3 = b решается в одно действие - извлечением кубического корня. Знак числа bb переходит в ответ без изменений.
  2. При извлечении корня чётной степени не забывай про ±\pm.
  3. Кубическое уравнение в общем виде: сначала подбор целого корня из делителей свободного члена, затем деление по теореме Безу на (x−x0)(x - x_0), затем решение оставшегося квадратного уравнения.
  4. Теорема Виета быстрее дискриминанта, когда старший коэффициент 11 и видно пару целых множителей.
  5. Если корней несколько, внимательно перечитай условие: просят больший, меньший или, например, сумму.
  6. Ответ в первой части ЕГЭ всегда целый или конечная десятичная дробь (2,52{,}5, −0,4-0{,}4). Если вышло 13\dfrac{1}{3}, ищи ошибку.

Стратегия на экзамене

Проверь себя
  1. Сколько действительных корней у уравнения (x+1)3=−27(x+1)^3 = -27?
  2. Чему равна сумма корней уравнения x2−11x+28=0x^2 - 11x + 28 = 0?
  3. Как правильно решать уравнение (x−4)2=3(x−4)(x-4)^2 = 3(x-4)?
  4. Где искать целые корни уравнения x3−4x2+x+6=0x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0?