Конус

Конус в простейшей стереометрии (Задание 3)

Задание 3 проверяет базовые знания стереометрии. Тема «Конус» встречается здесь не так часто, как прямоугольный параллелепипед, но требует чёткого знания формул и умения связывать элементы фигуры через прямоугольный треугольник. Часто конус комбинируют с другими телами: цилиндром или шаром.

Обычно для решения достаточно знать связь между элементами конуса и пару формул площадей и объёмов. Коэффициент $\dfrac{1}{3}$ в объёме и связь образующей с высотой и радиусом по теореме Пифагора - главный набор, который нужен в этом задании.

Суть темы и базовые понятия

Прямой круговой конус получается, если взять прямоугольный треугольник и начать вращать его вокруг одного из катетов. Тот катет, вокруг которого идёт вращение, становится высотой конуса, второй катет - радиусом основания, а гипотенуза - образующей.

У конуса три главных линейных элемента:

• $R$ - радиус основания (радиус круга в основании);
• $h$ - высота (перпендикуляр из вершины в центр основания);
• $l$ - образующая (отрезок от вершины до любой точки окружности основания).

Ключевой факт: высота, радиус основания и образующая всегда образуют прямоугольный треугольник, причём образующая в нём - гипотенуза. Поэтому они связаны теоремой Пифагора.

Основные формулы

Эти три формулы покрывают подавляющее большинство задач по теме. Запомни их наизусть и следи за тем, где стоит $R$, а где $l$.

Связь с цилиндром

Если цилиндр и конус имеют общее основание и равны по высоте, то объём цилиндра ровно в $3$ раза больше объёма конуса:

Этим фактом удобно пользоваться в задачах вида «цилиндр и конус имеют общие основание и высоту, объём цилиндра равен $30$, найди объём конуса» - не нужно ничего вычислять, просто раздели на $3$.

Площади боковых поверхностей таких фигур связаны похоже, но через образующую. Для цилиндра $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi R h$, а для конуса $S_{\text{бок.кон}} = \pi R l = \pi R \sqrt{R^2 + h^2}$. Эту связь разбираем в примере 2.

Алгоритм решения

Примеры решения

Три задачи от простой на одну формулу до комбинации тел с применением теоремы Пифагора.

Пример 1. Изменение размеров

Условие: Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в $4$ раза, а высоту уменьшить в $2$ раза?

Решение:

1. Запиши формулу исходного объёма:

$$V_1 = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$$

2. У нового конуса радиус равен $4R$, а высота равна $\dfrac{h}{2}$. Обязательно бери новое значение радиуса в скобки целиком - возводится в квадрат весь множитель:

$$V_2 = \dfrac{1}{3} \pi (4R)^2 \cdot \dfrac{h}{2}$$

3. Раскрой скобки и вынеси исходный объём за скобку:

$$V_2 = \dfrac{1}{3} \pi \cdot 16 R^2 \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{16}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \pi R^2 h \right) = 8 \cdot V_1$$

4. Новый объём больше старого в $8$ раз.

Ответ: 8

Пример 2. Цилиндр и конус с общим основанием

Условие: Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу его основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $5\sqrt{2}$. Найди площадь боковой поверхности цилиндра.

Пример 3. Конус и описанная сфера

Условие: Около конуса описана сфера (сфера проходит через окружность основания конуса и через его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $7\sqrt{2}$. Найди образующую конуса.

Частые ошибки

Что запомнить

• $R$, $h$, $l$ - это прямоугольный треугольник. Знаешь два элемента - находи третий по теореме Пифагора.
• Коэффициент $\dfrac{1}{3}$ в объёме конуса обязателен. Цилиндр и конус с общими основанием и высотой: $V_{\text{цил}} = 3 V_{\text{кон}}$.
• В боковой поверхности $S_{\text{бок}} = \pi R l$ стоит образующая, в объёме $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$ - высота. Не путай.
• В площади основания входит $R^2$, а в объём $R^2 h$ - при изменении $R$ в $k$ раз площадь основания умножается на $k^2$, объём (если $h$ не меняется) - тоже на $k^2$.
• «Осевое сечение конуса» - это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и основанием $2R$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Как связаны образующая $l$, высота $h$ и радиус основания $R$ конуса?
   • $l^2 = h^2 + R^2$
   • $l = h + R$
   • $h^2 = l^2 + R^2$
   • $l^2 = h^2 - R^2$
2. Чему равен объём конуса с радиусом основания $R$ и высотой $h$?
   • $V = \pi R^2 h$
   • $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$
   • $V = \dfrac{1}{3} \pi R l$
   • $V = \dfrac{2}{3} \pi R^2 h$
3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен $30$. Чему равен объём конуса?
   • $10$
   • $90$
   • $30$
   • $15$
4. Радиус основания конуса увеличили в $4$ раза, а высоту уменьшили в $2$ раза. Во сколько раз увеличился объём?
   • в $2$ раза
   • в $4$ раза
   • в $8$ раз
   • в $16$ раз

Проверить