Задачи на оптимальный выбор

Содержание

Задачи на оптимальный выбор (Финансовая математика)
Основные математические модели
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Задачи на оптимальный выбор (Финансовая математика)

Задание 16 КИМ-2026 чаще всего ассоциируется с кредитами, но примерно каждая десятая задача - на оптимальный выбор. Здесь нет аннуитетных схем и таблиц платежей, зато нужно найти наилучшую стратегию: когда выгоднее продать актив или при каком объёме производства завод окупится быстрее. В КИМ-2027 такого номера нет, но тема осталась в программе и разошлась надвое: проценты, вклады и кредиты перешли в первую часть кратким заданием 13, а развёрнутый формат с исследованием модели - в задание 17. Ни один из них не повторяет прежний номер один в один, поэтому конспект оставлен как архивный: он сложнее нынешних требований и хорошо ставит технику. Все номера в тексте ниже даны по КИМ-2026.

Тема делится на два сюжета:

Непрерывная оптимизация (заводы и производство): прибыль - квадратичная функция, максимум ищется через вершину параболы.
Дискретная оптимизация (пенсионные фонды и ценные бумаги): параметр - целое число лет, оптимум находится сравнением соседних значений.

Основные математические модели

Если затраты описываются квадратичной функцией $C(x) = ax^2 + bx + c$ , то функция прибыли $\Pi(x) = Ax^2 + Bx + C$ примет вид параболы ветвями вниз ( $A < 0$ ). Её максимум достигается в вершине.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм для задач на оптимальный выбор

Определи целевую функцию. Внимательно прочитай, что именно нужно максимизировать: прибыль за один год, общую прибыль за несколько лет или итоговую сумму на банковском счёте.
Составь математическую модель. Запиши выражение целевой функции. Введи переменные (например, $t$ - год продажи, $x$ - объём продукции).
Найди максимум.
- Для заводов: найди вершину параболы $x_v = -\dfrac{B}{2A}$ . Подставь её обратно в функцию, чтобы найти максимальную прибыль за год.
- Для ценных бумаг: составь неравенство $S(t) > S(t+1)$ , чтобы узнать, в какой момент держать деньги в бумагах становится менее выгодно, чем в банке.
Учти дополнительные условия. Если в задаче сказано про "окупаемость за $N$ лет", умножь максимальную годовую прибыль на $N$ и составь неравенство $\Pi_{total} \geqslant \text{Инвестиции}$ .
Проверь целочисленность. Убедись, что искомый год $t$ - целое число.

Примеры решения

Пример 1. Завод и квадратичная функция затрат

Строительство нового завода стоит $75$ млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $0{,}5x^2 + 4x + 7$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0{,}5x^2 + 4x + 7)$ .

Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем целом значении $p$ строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Находим максимальную прибыль за один год

Функция годовой прибыли имеет вид:

\Pi(x) = px - (0{,}5x^2 + 4x + 7) = -0{,}5x^2 + (p - 4)x - 7

Это квадратичная функция от переменной $x$ (объём продукции). График - парабола ветвями вниз (так как коэффициент перед $x^2$ отрицательный: $-0{,}5$ ). Следовательно, наибольшее значение прибыли достигается в вершине параболы:

x_v = -\dfrac{B}{2A} = -\dfrac{p - 4}{2 \cdot (-0{,}5)} = \dfrac{p - 4}{1} = p - 4

(Заметь: объём выпуска $x$ должен быть положительным, значит $p > 4$ - иначе завод не сможет окупиться в принципе.)

Подставим оптимальный объём $x_v = p - 4$ обратно в функцию прибыли, чтобы узнать, сколько именно фирма заработает за один год при наилучшей стратегии:

\Pi_{max} = -0{,}5(p - 4)^2 + (p - 4)(p - 4) - 7 = -0{,}5(p - 4)^2 + (p - 4)^2 - 7 = 0{,}5(p - 4)^2 - 7

Составляем условие окупаемости

Строительство завода стоит $75$ млн рублей. Окупиться он должен не более чем за 3 года. Значит, суммарная максимальная прибыль за 3 года должна покрыть или превысить эти затраты:

3 \cdot \Pi_{max} \geqslant 75

3 \cdot \left(0{,}5(p - 4)^2 - 7\right) \geqslant 75

Решаем неравенство относительно $p$

Разделим обе части на 3:

0{,}5(p - 4)^2 - 7 \geqslant 25

0{,}5(p - 4)^2 \geqslant 32

Умножим на 2:

(p - 4)^2 \geqslant 64

Так как цена $p$ - величина положительная, извлекаем корень:

p - 4 \geqslant 8 \implies p \geqslant 12

Наименьшее целое значение $p$ , при котором выполняется это условие, равно $12$ .

Ответ: $12$

Пример 2. Ценные бумаги и поиск года

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ( $t = 1;\, 2;\, \ldots$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на $20\%$ .

В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Составляем функцию итоговой суммы

Если фонд продаёт бумаги в конце года $t$ , он выручит $t^2$ тыс. рублей. Эти деньги пролежат в банке до конца $20$ -го года, то есть $(20 - t)$ лет. Каждый год сумма умножается на $k = 1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2$ . По формуле сложных процентов итог к концу $20$ -го года:

S(t) = t^2 \cdot (1{,}2)^{20 - t}

Ищем оптимальный год $t$

Максимум достигается там, где продажа в год $t$ выгоднее, чем продажа в год $t+1$ :

S(t) > S(t+1) \iff t^2 \cdot (1{,}2)^{20 - t} > (t + 1)^2 \cdot (1{,}2)^{19 - t}

Упрощаем неравенство

Разделим обе части на положительное выражение $(1{,}2)^{19 - t}$ :

1{,}2 t^2 > (t + 1)^2 \iff 0{,}2 t^2 - 2t - 1 > 0 \iff t^2 - 10t - 5 > 0

Решаем квадратное неравенство и отбираем год

Корни уравнения $t^2 - 10t - 5 = 0$ :

D = 100 + 20 = 120 \implies t = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{30}}{2} = 5 \pm \sqrt{30}

Год $t \geqslant 1$ , значит берём только положительный корень. Оценим: $5^2 = 25 < 30 < 36 = 6^2$ , поэтому $\sqrt{30} \approx 5{,}47$ , и пограничное значение $t \approx 10{,}47$ .

Неравенство выполнено при $t \geqslant 11$ . Это значит: начиная с $11$ -го года продавать бумаги прямо сейчас выгоднее, чем ждать ещё год. Проверь граничные случаи:

при $t=10$ неравенство не выполнено, значит $S(10) < S(11)$ . Бумаги нужно держать;
при $t=11$ неравенство выполнено, значит $S(11) > S(12)$ . Выгоднее продать в конце $11$ -го года.

Максимум достигается при продаже в конце $11$ -го года.

(Заметь: число $20$ из условия полностью сократилось. Итоговая сумма была бы максимальной при продаже в $11$ -й год, даже если бы цель стояла на $30$ -й или $50$ -й год.)

Ответ: $11$

Пример 3. Ценные бумаги и поиск процента

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ . В конце любого года фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1 + r$ раз.

Фонд хочет продать бумаги в конце такого года, чтобы в конце пятнадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого бумаги нужно продавать строго в конце восьмого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

Модель суммы

Пусть $k = 1 + r$ . Если продать бумаги в год $t$ , итоговая сумма к $15$ -му году составит:

S(t) = t^2 \cdot k^{15 - t}

Условие оптимума

По условию, максимум строго достигается при $t = 8$ . Это означает, что продать в $8$ -й год выгоднее, чем продать на год раньше (в $7$ -й) И выгоднее, чем продать на год позже (в $9$ -й). Должна выполняться система:

\begin{cases} S(8) > S(7) \\ S(8) > S(9) \end{cases}

Решаем систему неравенств

Подставим значения в первое неравенство:

8^2 \cdot k^{15 - 8} > 7^2 \cdot k^{15 - 7}

64k^7 > 49k^8

Разделим на $k^7$ (так как $k > 1$ , знак не меняется):

64 > 49k \implies k < \dfrac{64}{49}

Подставим значения во второе неравенство:

8^2 \cdot k^{15 - 8} > 9^2 \cdot k^{15 - 9}

64k^7 > 81k^6

Разделим на $k^6$ :

64k > 81 \implies k > \dfrac{81}{64}

Находим $r$

Объединяем условия для $k$ :

\dfrac{81}{64} < k < \dfrac{64}{49}

Вспоминаем, что $k = 1 + r$ , следовательно, $r = k - 1$ :

\dfrac{81}{64} - 1 < r < \dfrac{64}{49} - 1

\dfrac{81 - 64}{64} < r < \dfrac{64 - 49}{49}

\dfrac{17}{64} < r < \dfrac{15}{49}

Ответ: $\dfrac{17}{64} < r < \dfrac{15}{49}$

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задачи 16 (оптимизация)

Время выполнения: 15-25 минут.
Очерёдность: Решай после неравенства (15) и уравнений (13). Если видишь задачу на оптимизацию - радуйся. Вычисления в них обычно проще и короче, чем длинные таблицы аннуитетных или дифференцированных платежей.
Балл за модель: Если застрял с вычислениями, обязательно выпиши целевую функцию (для завода - уравнение параболы, для фонда - выражение $S(t)$ ). Это математическая модель, за правильное составление которой дают 1 балл из 2.
Хитрость: В задачах про пенсионный фонд год окончания (например, 20-й или 25-й) всегда сокращается при решении неравенства. Можешь мысленно проверить себя: если $N$ не сократилось, ты неправильно записал степени.

За что дают баллы

В задаче 16 можно получить от 0 до 2 баллов:

2 балла (Максимум): Обоснованно получен верный ответ. Составлена правильная математическая модель, все неравенства решены корректно, сделан правильный вывод о точке максимума.
1 балл: Верно построена математическая модель (выписана правильная функция прибыли или составлена верная система неравенств $S(t) > S(t+1)$ ), но решение не завершено или в нём допущена одна вычислительная ошибка, которая не искажает логику задачи.
0 баллов: Модель не построена или содержит принципиальные логические ошибки (например, не вычтены затраты, неверно записаны сложные проценты).

Проверь себя

У квадратичной функции прибыли $\Pi(x) = -0{,}5x^2 + 6x - 7$ максимум достигается при каком $x$ ?
Почему в задачах про продажу ценных бумаг нельзя искать максимум $S(t)$ через производную?
Максимум дискретной функции $S(t)$ достигается в году $t$ , если выполняется система:
Фонд продаёт бумаги стоимостью $t^2$ в конце года $t$ и кладёт деньги под $20\%$ годовых до конца $20$ -го года. Итоговая сумма равна: