Окружности и системы окружностей

Содержание

Окружности и системы окружностей (задание 18)
Взаимное расположение двух окружностей
Ключевые факты
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Окружности и системы окружностей (задание 18)

Задачи на взаимное расположение двух окружностей встречаются на ЕГЭ редко, но именно поэтому и вызывают ступор. Хорошая новость - набор приёмов здесь узкий: запомни несколько фактов про линию центров, общую хорду и касающиеся окружности, и такие задачи будут даваться тебе легче, чем классика про вписанные углы.

Взаимное расположение двух окружностей

Пусть даны две окружности с радиусами $R$ и $r$ (считаем $R \geqslant r$ ), а расстояние между их центрами равно $d$ . Вся конфигурация полностью определяется этими тремя числами:

Не пересекаются, одна вне другой: $d > R + r$ .
Касаются внешним образом: $d = R + r$ . Одна общая точка, центры - по разные стороны от неё.
Пересекаются в двух точках: $R - r < d < R + r$ . Образуется общая хорда.
Касаются внутренним образом: $d = R - r$ . Одна общая точка, центры - по одну сторону от неё.
Одна внутри другой без касания: $d < R - r$ .

Ключевые факты

Для задач с системами окружностей нужны три инструмента: линия центров, общая хорда и свойство касающихся окружностей.

ВАЖНОЕ

Линия центров и общая хорда

Если две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$ , то прямая $O_1O_2$ перпендикулярна общей хорде $AB$ и делит её пополам.

Длина общей хорды вычисляется по формуле:

AB = 2 \cdot \sqrt{R^2 - h^2}

где $h$ - расстояние от центра соответствующей окружности до хорды. Величину $h$ удобно искать через площадь треугольника $O_1AO_2$ со сторонами $O_1O_2 = d$ , $O_1A = R$ , $O_2A = r$ .

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм для задач на две окружности

Сделай крупный чертёж. Отметь центры $O_1$ , $O_2$ и проведи линию центров - это ось симметрии всей картинки.
Определи тип взаимодействия. Пересечение, внешнее касание, внутреннее касание? Это решает, какие свойства применять.
Добавь ключевой отрезок. При пересечении - общую хорду (она перпендикулярна линии центров и делится ею пополам). При касании - общую касательную и радиусы в точку касания.
Ищи прямоугольные треугольники. Радиус в точку касания, половина общей хорды, отрезок линии центров - всё это катеты и гипотенузы, к которым работает теорема Пифагора.
Если геометрия буксует - вводи координаты. Помести начало в один из центров, направь ось так, чтобы вторая окружность попала на ось. Запиши уравнения окружностей и прямых.

Примеры решения

Разберём две задачи: классическую на пересечение и задачу на внешнее касание с общей касательной - типичная комбинация, которая встречается на экзамене.

Пример 1. Длина общей хорды

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$ . а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ перпендикулярна отрезку $AB$ и делит его пополам. б) Найдите длину общей хорды $AB$ , если радиусы окружностей равны $13$ и $15$ , а расстояние между центрами равно $14$ .

Пункт а). Доказательство

Возьми треугольники $O_1AO_2$ и $O_1BO_2$ . У них сторона $O_1O_2$ общая, $O_1A = O_1B$ (радиусы первой окружности), $O_2A = O_2B$ (радиусы второй). Значит, $\triangle O_1AO_2 = \triangle O_1BO_2$ по трём сторонам.
Из равенства треугольников следует $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$ .
В равнобедренном треугольнике $AO_1B$ (где $O_1A = O_1B$ ) отрезок $O_1H$ (где $H$ - точка пересечения $O_1O_2$ и $AB$ ) оказывается биссектрисой угла при вершине $O_1$ .
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, является одновременно медианой и высотой. Значит, $O_1O_2 \perp AB$ и $AH = HB$ . Утверждение доказано.

Пункт б). Площадь треугольника центров

Обозначь через $H$ точку пересечения $AB$ и $O_1O_2$ . Отрезок $AH$ - высота треугольника $O_1AO_2$ , проведённая к стороне $O_1O_2$ . Из пункта а) длина общей хорды $AB = 2 \cdot AH$ .
Посчитай площадь $\triangle O_1AO_2$ по формуле Герона. Стороны: $13$ , $15$ , $14$ . Полупериметр:

p = \dfrac{13 + 15 + 14}{2} = 21.

S = \sqrt{21 \cdot (21 - 13)(21 - 15)(21 - 14)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7} = \sqrt{7056} = 84.

Пункт б). Высота и длина хорды

Ту же площадь выразим через основание $O_1O_2$ и высоту $AH$ :

S = \dfrac{1}{2} \cdot O_1O_2 \cdot AH \quad \Longrightarrow \quad 84 = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot AH \quad \Longrightarrow \quad AH = 12.

Длина общей хорды:

AB = 2 \cdot AH = 24.

Ответ: б) $24$ .

Пример 2. Внешнее касание и общая касательная

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R$ и $r$ ( $R > r$ ) касаются внешним образом в точке $T$ . Общая внешняя касательная к обеим окружностям касается большей в точке $A$ , а меньшей - в точке $B$ . а) Докажите, что угол $ATB$ прямой. б) Найдите длину отрезка $AB$ , если $R = 8$ и $r = 2$ .

Пункт а). Доказательство

Общий чертёж двух касающихся окружностей и внешней касательной

Проведи общую касательную окружностей в точке $T$ . Эта касательная пересекает отрезок $AB$ в некоторой точке $P$ .
Из точки $P$ к большей окружности проведены два касательных отрезка: $PA$ (касание в $A$ ) и $PT$ (касание в $T$ ). По свойству касательных из одной точки $PA = PT$ .
Аналогично, из точки $P$ к меньшей окружности идут касательные $PB$ и $PT$ , поэтому $PB = PT$ .
Сложи равенства: $PA = PT$ и $PB = PT$ . Значит, $PA = PB = PT$ .
В треугольнике $ATB$ точка $P$ лежит на стороне $AB$ и $PA = PB$ , то есть $P$ - середина $AB$ . При этом $PT = PA = PB = \dfrac{1}{2} \cdot AB$ .
Медиана $TP$ треугольника $ATB$ , проведённая к стороне $AB$ , равна половине этой стороны. Это признак прямоугольного треугольника: значит, $\angle ATB = 90^\circ$ . Утверждение доказано.

Пункт б). Строим прямоугольную трапецию

Посмотри на четырёхугольник $O_1ABO_2$ . Радиусы $O_1A$ и $O_2B$ перпендикулярны касательной $AB$ , то есть $O_1A \parallel O_2B$ . Значит, $O_1ABO_2$ - прямоугольная трапеция с основаниями $O_1A = R$ и $O_2B = r$ , боковой стороной $AB$ и боковой стороной $O_1O_2 = R + r$ (окружности касаются внешним образом).
Опусти из точки $O_2$ перпендикуляр $O_2H$ на прямую $O_1A$ . Тогда $O_1ABO_2$ превращается в прямоугольник $HABO_2$ и прямоугольный треугольник $O_1HO_2$ . При этом:

O_2H = AB, \quad O_1H = O_1A - HA = R - r.

Пункт б). Теорема Пифагора и ответ

В прямоугольном треугольнике $O_1HO_2$ гипотенуза $O_1O_2 = R + r$ , катет $O_1H = R - r$ . По теореме Пифагора:

AB^2 = O_1O_2^2 - O_1H^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2.

Раскрой скобки:

(R + r)^2 - (R - r)^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2) = 4Rr.

Значит, $AB = 2\sqrt{Rr}$ . 3. Подставь числа: $R = 8$ , $r = 2$ :

AB = 2\sqrt{8 \cdot 2} = 2\sqrt{16} = 8.

Ответ: б) $8$ .

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Внутреннее касание: "вычесть меньший радиус из большего"

Ошибка: При внутреннем касании писать $O_1O_2 = R - r$ и забывать, что $R$ - именно больший радиус. Если по условию радиусы даны в порядке $r_1$ , $r_2$ без уточнения, который больше, можно получить отрицательное расстояние. Правильно: Для внутреннего касания $O_1O_2 = |R_1 - R_2|$ . Если меньшая окружность лежит внутри большей и касается её изнутри - меньшая проходит ближе к центру большей, а сама точка касания находится на границе большей окружности.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Общая касательная параллельна линии центров

Ошибка: При построении общей внешней касательной к двум окружностям разного радиуса считать, что она параллельна линии центров $O_1O_2$ . Правильно: Параллельно только если радиусы равны. В общем случае радиусы $O_1A$ и $O_2B$ , проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной - и образуют прямоугольную трапецию с основаниями $R$ и $r$ . Именно в этой трапеции обычно и прячется ответ (см. пример 2).

Что запомнить

Линия центров $O_1O_2$ - ось симметрии конфигурации. Она перпендикулярна общей хорде и делит её пополам.
Если окружности касаются, центры и точка касания лежат на одной прямой; общая касательная в этой точке перпендикулярна линии центров.
Длина общей внешней касательной для двух касающихся окружностей радиусов $R$ и $r$ равна $2\sqrt{Rr}$ .
Координатный метод выручает, когда заданы радиусы и расстояния от центров до прямых: помести начало в центр одной окружности и направь ось на центр другой.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения

Время: $25-35$ минут. Задачи на системы окружностей часто решаются быстрее обычной планиметрии - конструкция узкая.
Очерёдность: Решай после джентльменского набора ( $14$ , $16$ , $17$ ), но до параметров ( $19$ ). Увидел две касающиеся окружности - не пасуй: часто ответ в одну формулу.
Когда стоит пропустить: Если за $10$ минут не увидел ни типа взаимного расположения, ни прямоугольного треугольника - отложи задачу.
Хитрость оценивания: Пункты а) и б) независимы. Если не получается доказать а), используй утверждение как данность и решай б) - за верное вычисление дадут $1$ балл.

За что дают баллы

В задании $18$ можно получить от $0$ до $3$ баллов:

$3$ балла. Полное доказательство пункта а) со ссылками на теоремы и верный ответ в пункте б) с обоснованием каждого шага.
$2$ балла. Пункт а) доказан верно, в б) логика правильная, но есть арифметическая ошибка. Или пункт б) решён безупречно (с независимым доказательством), а пункт а) не решён.
$1$ балл. Верно и полно доказан только пункт а). Или пункт а) не доказан, но пункт б) решён верно с опорой на утверждение из пункта а).
$0$ баллов. Решение не содержит верных продвижений. Голый ответ без вычислений или ответ, основанный на ошибочном допущении (например, что радиусы равны, хотя из условия это не следует), тоже оценивается в $0$ баллов.

Проверь себя

Две окружности радиусов $R$ и $r$ ( $R > r$ ) касаются внутренним образом. Чему равно расстояние между центрами?
Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$ . Что верно про линию центров $O_1O_2$ и хорду $AB$ ?
Две окружности радиусов $R$ и $r$ касаются внешним образом. Чему равна длина отрезка общей внешней касательной между точками касания?
Радиусы окружностей равны $13$ и $15$ , расстояние между центрами равно $14$ . Как расположены окружности?