Последовательности и прогрессии

Строим математическую модель

Составим математическую модель. Количество прочитанных страниц - это суммы арифметических прогрессий с разностью $d = 1$. Сумма Антона: $S_A = \dfrac{n(2a + n - 1)}{2}$ Сумма Бориса: $S_B = \dfrac{n(2b + n - 1)}{2}$

По условию $S_B - S_A = 315$. Вычтем одну формулу из другой:

Следовательно, $n(b - a) = 315$. Пусть $b - a = k$, тогда $n \cdot k = 315$. Так как $a$ и $b$ - натуральные числа, разность $k$ тоже целая.

Пункт а: подбираем пример для n = 7

Подставим $n = 7$. Тогда $7k = 315 \implies k = 45$. Значит, $b - a = 45$. Нас просят привести пример. Пусть $a = 1$, тогда $b = 46$. Проверим: Антон читает $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ (сумма $28$). Борис читает $46, 47, 48, 49, 50, 51, 52$ (сумма $343$). Разница $343 - 28 = 315$. Условие выполняется. Ответ на пункт а: да (например, если Антон в первый день прочитал 1 страницу, а Борис - 46).

Пункт б: доказываем невозможность n = 10

Подставим $n = 10$. Тогда $10k = 315 \implies k = 31{,}5$. Но $k = b - a$ должно быть целым числом, так как $a$ и $b$ натуральные. Противоречие. Ответ на пункт б: нет.

Пункт в: строим оценку

Нам нужно найти максимум $S_B$. Мы знаем, что $S_B = S_A + 315$. Чтобы максимизировать $S_B$, нужно максимизировать сумму Антона $S_A$.

Вспомним формулу: $S_A = \dfrac{n(a + a_n)}{2}$, где $a_n$ - число страниц в последний день. По условию $a_n \leqslant 29$. Выразим $a$ через $a_n$: $a_n = a + n - 1 \implies a = a_n - n + 1$. Чтобы $a$ было натуральным ($a \geqslant 1$), должно выполняться $n \leqslant a_n \leqslant 29$. Значит, $n \leqslant 29$.

Мы знаем, что $n$ - делитель числа $315$. Выпишем делители $315$, которые больше $1$ и не превышают $29$: $3, 5, 7, 9, 15, 21$.

Пункт в: перебираем кандидатов

Сумма Антона: $S_A = \dfrac{n(a + a_n)}{2} = \dfrac{n(a_n - n + 1 + a_n)}{2} = \dfrac{n(2a_n - n + 1)}{2}$. При фиксированном $n$ сумма растёт вместе с $a_n$, поэтому берём максимальное $a_n = 29$. Тогда $S_A = \dfrac{n(59 - n)}{2}$. При $n \leqslant 21$ это квадратичная функция с максимумом в $n = 29{,}5$, значит среди допустимых $n$ растёт. Подставим допустимые делители 315:

• $n = 3$: $S_A = \dfrac{3 \cdot 56}{2} = 84$.

• $n = 5$: $S_A = \dfrac{5 \cdot 54}{2} = 135$.

• $n = 7$: $S_A = \dfrac{7 \cdot 52}{2} = 182$.

• $n = 9$: $S_A = \dfrac{9 \cdot 50}{2} = 225$.

• $n = 15$: $S_A = \dfrac{15 \cdot 44}{2} = 330$.

• $n = 21$: $S_A = \dfrac{21 \cdot 38}{2} = 399$.

Наибольшее значение $S_A$ достигается при $n = 21$. Тогда $S_B = S_A + 315 = 399 + 315 = 714$.

Пункт в: приводим пример

Обязательно приводим пример: При $n = 21$ и $a_{21} = 29$, первый член Антона $a = 29 - 21 + 1 = 9$. Так как $n \cdot (b - a) = 315 \implies 21(b - 9) = 315 \implies b - 9 = 15 \implies b = 24$. Проверка: Антон начинает с 9, читает 21 день, заканчивает 29. Сумма 399. Борис начинает с 24, читает 21 день, заканчивает 44. Сумма $21 \cdot (24+44)/2 = 714$. Разница ровно 315.

Ответ: а) да; б) нет; в) 714.

Переводим условие в уравнение

Обозначим первый член $a$, разность $d$, количество членов $n \geqslant 2$. Члены прогрессии натуральные, значит $a \geqslant 1$. Разность $d = a_2 - a_1$ - это разность двух натуральных чисел, то есть целое число. А раз прогрессия возрастающая, $d \geqslant 1$. Формула суммы:

Пункт а: подбираем пример для n = 6

Подставим $n = 6$:

Попробуем подобрать $a$ и $d$. Пусть $d = 5$, тогда $2a + 25 = 35 \implies 2a = 10 \implies a = 5$. Получили прогрессию из 6 членов: $5, 10, 15, 20, 25, 30$. Сумма: $5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 105$. Условие выполнено. Ответ на пункт а: да.

Пункт б: доказываем невозможность n = 4

Подставим $n = 4$:

Слева стоит сумма целых чисел, а справа - дробное число. Такое невозможно. Ответ на пункт б: нет.

Пункт в: оцениваем n сверху

Имеем уравнение $n(2a + (n - 1)d) = 210$. Нам нужно максимизировать $n$. Поскольку $a \geqslant 1$ и $d \geqslant 1$, оценим выражение в скобках:

Тогда всё произведение:

Решим неравенство $n(n + 1) \leqslant 210$. Подберём значения: если $n = 14$, то $14 \cdot 15 = 210$. Значит, $n \leqslant 14$. Максимальное теоретическое значение $n = 14$.

Пункт в: показываем достижимость

Докажем, что оно достижимо. Подставим $n = 14$ в исходное уравнение:

Так как $d \geqslant 1$, проверим $d = 1$: $2a + 13 = 15 \implies 2a = 2 \implies a = 1$. Получилась прогрессия с $a = 1$ и $d = 1$ из 14 членов: $1, 2, 3, \dots, 14$. Её сумма: $\dfrac{14(1 + 14)}{2} = 7 \cdot 15 = 105$. Пример работает! Ответ на пункт в: 14.