Вклады

Содержание

Вклады (Задание 16)
Суть темы
Основные формулы
Алгоритм решения
Примеры
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Вклады (Задание 16)

Вклады - редкая тема 16-го задания КИМ-2026 (примерно 1 задача на 50 кредитных), но математически они устроены как кредит наоборот: банк должен тебе, а не ты банку. Сумма на счёте не убывает, а растёт - за счёт начисления процентов и твоих пополнений. В КИМ-2027 такого номера нет, но тема осталась в программе и разошлась надвое: проценты, вклады и кредиты перешли в первую часть кратким заданием 13, а развёрнутый формат с исследованием модели - в задание 17. Ни один из них не повторяет прежний номер один в один, поэтому конспект оставлен как архивный: он сложнее нынешних требований и хорошо ставит технику. Все номера в тексте ниже даны по КИМ-2026.

Суть темы

Вклад - это чередующиеся шаги:

На счёте лежит сумма.
Банк начисляет процент (сумма увеличивается).
Вкладчик кладёт деньги на счёт (если это предусмотрено условием).
Шаги повторяются каждый год (реже - каждый месяц).

Задача: прочитать условие, зафиксировать порядок операций и шаг за шагом выписать, как меняется сумма. Дальше получаешь уравнение или неравенство - и решаешь его.

Горизонтальная временная ось на 3 года с делениями «год 1»,

Основные формулы

Сразу переводи процент в коэффициент - с ним удобнее считать.

На ЕГЭ всегда работают сложные проценты: новый процент считается от текущей (уже увеличенной) суммы, а не от первоначального вклада.

Если каждый год вкладчик докладывает одну и ту же сумму $V$ , итоговую сумму можно посчитать по замкнутой формуле. Она опирается на сумму геометрической прогрессии.

ВАЖНОЕ

Вклад с одинаковыми пополнениями

Начальная сумма $S_0$ , каждый год ставка $r\%$ , в начале каждого года (включая первый) вносится одна и та же сумма $V$ . Через $n$ лет на счёте:

S_n = S_0 \cdot k^n + V \cdot k \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1}

Множитель $V \cdot k \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1}$ - это сумма геометрической прогрессии $Vk + Vk^2 + \dots + Vk^n$ : каждое пополнение $V$ пролежит на счёте разное число лет и вырастет в свой $k^i$ .

Замкнутую формулу зубрить не обязательно: если пополнения разные (скажем, только в 3-й и 4-й год), проще идти по рекуррентной связи

S_{i+1} = S_i \cdot k + V_i,

где $V_i$ - пополнение перед $i$ -м начислением ( $V_i = 0$ , если в $i$ -й год пополнения нет).

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задач на вклады

Разбери хронологию. В каком порядке идут события: сначала начисление процентов или сначала пополнение? В разные годы пополнения могут быть разными или отсутствовать.
Введи переменные. Обозначь неизвестное за $S$ , переведи проценты в коэффициент $k$ .
Построй таблицу. Выпиши состояние счёта по годам - столбцы «начало года», «после пополнения», «после начисления».
Составь модель. Запиши итоговое уравнение или неравенство. Если в условии «наименьший первоначальный вклад, при котором сумма превысит...», ставь знак $>$ или $\geqslant$ в зависимости от формулировки («больше» или «не меньше»).
Реши модель. Вычисли. Если получается нецелое значение - найди ближайшее целое в нужную сторону.

Таблица изменения суммы на вкладе по годам

Примеры

Сначала - чистая механика сложных процентов без пополнений.

Пример 1. Вклад без пополнений

Условие: Вклад открывается на $3$ года. Первоначальный вклад - целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает сумму на счёте на $10\%$ . Найди наименьший первоначальный вклад, при котором через $3$ года сумма составит не менее $15$ млн рублей.

Теперь задача в стиле реальных вариантов ЕГЭ - с пополнениями в отдельные годы и сменой порядка операций внутри года.

Пример 2. Пополнения в отдельные годы

Условие: Вклад открывается на $3$ года под $10\%$ годовых. Банк начисляет проценты в конце каждого года. В начале $2$ -го и $3$ -го годов вкладчик пополняет счёт на $1$ млн рублей. Первоначальный вклад - целое число миллионов рублей. Найди наименьший первоначальный вклад, при котором через $3$ года сумма на счёте составит не менее $10$ млн рублей.

Разбираем хронологию и строим таблицу

Пусть $S$ - первоначальный вклад (в млн рублей), $k = 1{,}1$ , пополнение $V = 1$ млн рублей. Порядок в каждом году после первого: сначала пополнение (в начале года), потом начисление процентов (в конце). Сведи состояние счёта в таблицу.

Год	Сумма в начале (после пополнения)	Сумма в конце (после начисления $10\%$ )
$1$	$S$	$1{,}1\,S$
$2$	$1{,}1\,S + 1$	$(1{,}1\,S + 1) \cdot 1{,}1 = 1{,}21\,S + 1{,}1$
$3$	$1{,}21\,S + 1{,}1 + 1 = 1{,}21\,S + 2{,}1$	$(1{,}21\,S + 2{,}1) \cdot 1{,}1 = 1{,}331\,S + 2{,}31$

Составляем и решаем неравенство

Через $3$ года на счёте $1{,}331\,S + 2{,}31$ млн рублей. Условие $\geqslant 10$ :

1{,}331\,S + 2{,}31 \geqslant 10

1{,}331\,S \geqslant 7{,}69

S \geqslant \dfrac{7{,}69}{1{,}331} = \dfrac{7\,690}{1\,331}

Оцениваем дробь и выбираем целое

Оценка:

1\,331 \cdot 5 = 6\,655, \quad 1\,331 \cdot 6 = 7\,986

Значит, $5 < \dfrac{7\,690}{1\,331} < 6$ , то есть $S \geqslant 5{,}\ldots$ Целое число - $6$ .

Проверяем

Проверка. При $S = 6$ : $1{,}331 \cdot 6 + 2{,}31 = 7{,}986 + 2{,}31 = 10{,}296 \geqslant 10$ - подходит. При $S = 5$ : $1{,}331 \cdot 5 + 2{,}31 = 6{,}655 + 2{,}31 = 8{,}965 < 10$ - не подходит.

Ответ: $6$ .

Третья задача - с одинаковыми ежегодными пополнениями. Здесь работает замкнутая формула через сумму геометрической прогрессии.

Пример 3. Одинаковые пополнения и геометрическая прогрессия

Условие: Вклад открывается на $3$ года под $20\%$ годовых (начисление в конце года). В начале каждого года, включая первый, вкладчик вносит по $1$ млн рублей. Первоначальный вклад $S_0$ - целое число миллионов рублей (вносится до начисления за $1$ -й год). Найди наименьший $S_0$ , при котором через $3$ года сумма на счёте будет не менее $10$ млн рублей.

Вводим переменные и разбираем вклад по годам

Пусть $S_0$ - первоначальный вклад (в млн рублей), $k = 1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2$ , $V = 1$ млн рублей. Порядок в каждом году: в начале года - пополнение $V$ , в конце - начисление $20\%$ .

Первоначальный вклад $S_0$ пролежит все $3$ года и вырастет в $k^3 = 1{,}728$ раз. Пополнение $V$ , внесённое в начале года $i$ , пролежит $(4 - i)$ полных начислений и вырастет в $k^{4-i}$ раз:

V_1 \to V \cdot k^3, \quad V_2 \to V \cdot k^2, \quad V_3 \to V \cdot k

Итоговая сумма:

S_3 = S_0 \cdot k^3 + V \cdot (k^3 + k^2 + k) = S_0 \cdot k^3 + V \cdot k \cdot \dfrac{k^3 - 1}{k - 1}

Сумма в скобках - геометрическая прогрессия с первым членом $k$ , знаменателем $k$ и тремя членами.

Подставляем числа и составляем неравенство

Подставь числа:

k^3 + k^2 + k = 1{,}728 + 1{,}44 + 1{,}2 = 4{,}368

S_3 = 1{,}728 \cdot S_0 + 1 \cdot 4{,}368 = 1{,}728\,S_0 + 4{,}368

Условие $\geqslant 10$ :

1{,}728\,S_0 + 4{,}368 \geqslant 10

1{,}728\,S_0 \geqslant 5{,}632

S_0 \geqslant \dfrac{5{,}632}{1{,}728} = \dfrac{5\,632}{1\,728}

Оцениваем дробь и выбираем целое

Сократи дробь на $64$ : $\dfrac{5\,632}{1\,728} = \dfrac{88}{27}$ . Оценка: $27 \cdot 3 = 81$ , $27 \cdot 4 = 108$ , значит $\dfrac{88}{27} = 3{,}\ldots$ Наименьшее целое $S_0 = 4$ .

Проверяем

Проверка. При $S_0 = 4$ : $1{,}728 \cdot 4 + 4{,}368 = 6{,}912 + 4{,}368 = 11{,}28 \geqslant 10$ - подходит. При $S_0 = 3$ : $1{,}728 \cdot 3 + 4{,}368 = 5{,}184 + 4{,}368 = 9{,}552 < 10$ - не хватает.

Ответ: $4$ .

Схема роста пополнений по геометрической прогрессии

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в порядке операций

Ошибка. Умножить всю сумму на коэффициент без учёта того, когда именно было пополнение. Например, записать третий год как $(1{,}21\,S \cdot 1{,}1) + 1$ , хотя пополнение идёт до начисления. Правильно. Следуй тексту дословно. Если сказано «в начале года пополняется, в конце - начисляется $10\%$ », сначала прибавь $V$ , потом всю получившуюся сумму в скобках умножь на $k$ : $(S_{\text{начало}} + V) \cdot k$ .

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибка в сумме геометрической прогрессии

Ошибка. При одинаковых пополнениях записать $S_n = S_0 \cdot k^n + V \cdot n$ или $S_n = S_0 \cdot k^n + V \cdot k^n$ . Первое - забыли, что каждое пополнение само растёт по процентам; второе - что пополнения внесены в разные годы и пролежали на счёте разное время. Правильно. Каждое пополнение умножается на свою степень $k$ : пополнение $i$ -го года внесено перед $(n - i + 1)$ начислениями. В сумме получается геометрическая прогрессия $V(k + k^2 + \dots + k^n)$ .

Что запомнить

Вклад - это кредит наоборот. Платежи прибавляются, а не вычитаются.
Таблица «год / начало / пополнение / после начисления / конец» надёжнее замкнутой формулы - особенно при разных или нерегулярных пополнениях.
«В начале каждого года» и «в начале $2$ -го и $3$ -го годов» - разные условия с разным ответом. Читай дословно.
Дробь в финальном неравенстве редко делится нацело. Прикидкой $k \cdot N$ найди целую часть, затем возьми ближайшее целое в нужную сторону.
При одинаковых пополнениях сумма $k + k^2 + \dots + k^n = k \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1}$ - это геометрическая прогрессия, а не арифметическая.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: $15$ - $25$ минут.
Слово «вклад» в $16$ -м - хорошая новость. Задачи короче кредитных с дифференцированными платежами: меньше перекладываний и громоздких сумм.
Берись за $16$ -е после того, как закрыт джентльменский набор ( $13$ и $15$ ).
Вычисления вида $1{,}1^4 = 1{,}4641$ или $1{,}2^3 = 1{,}728$ проверяй столбиком дважды: одна ошибка в $k^n$ - и вся модель уйдёт не туда.
Одинаковые пополнения каждый год - замкнутая формула с геометрической прогрессией. Разные или нерегулярные - иди по таблице.

За что дают баллы

Максимум за задание $16$ - $2$ балла.

$2$ балла - верная модель, вычисления без ошибок, правильный ответ. «Обоснованно» значит: эксперту видно, откуда взялось итоговое уравнение или неравенство (помогает таблица или пояснение шагов словами).
$1$ балл - модель построена верно (учтены все пополнения и начисления, выбран правильный знак неравенства), но решение не доведено до конца или в вычислениях одна ошибка, приведшая к неверному ответу.
$0$ баллов - модель неверна (перепутан порядок операций, пропущено пополнение, вместо неравенства записано уравнение) или только ответ без решения.

Проверь себя

На сколько умножается сумма на счёте при увеличении на $20\%$ ?
Вклад $S_0$ лежит $n$ лет под $r\%$ годовых без пополнений. Итоговая сумма равна
В начале каждого из $n$ лет вносится по $V$ , ставка даёт коэффициент $k$ . Во что превращаются все пополнения к концу срока?
В условии сказано: «сумма составит не менее $10$ млн». Какой знак ставить в модели?

Вклады

Вклады (Задание 16)

Суть темы

Основные формулы

Алгоритм решения

Примеры

Вводим переменные и коэффициент

Составляем модель

Оцениваем дробь и выбираем целое

Проверяем

Разбираем хронологию и строим таблицу

Составляем и решаем неравенство

Оцениваем дробь и выбираем целое

Проверяем

Вводим переменные и разбираем вклад по годам

Подставляем числа и составляем неравенство

Оцениваем дробь и выбираем целое

Проверяем

Частые ошибки

Что запомнить

Стратегия на экзамене

За что дают баллы