Расстояние от точки до плоскости

Содержание

Расстояние от точки до плоскости
Основные формулы и методы
Алгоритм решения: как выбрать метод?
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Расстояние от точки до плоскости

Поиск расстояния от точки до плоскости (задание 15) - один из самых частых и понятных сюжетов стереометрии на ЕГЭ. В отличие от задач на углы между плоскостями или поиск сечений, здесь тебе редко придётся строить сложные дополнительные линии и пытаться «увидеть» трёхмерную картинку.

Существуют мощные аналитические инструменты, которые сводят задачу к формулам и базовым вычислениям.

Основные формулы и методы

Существуют три основных метода нахождения этого расстояния. Первый - классический метод перпендикуляра (построить основание перпендикуляра, доказать перпендикулярность через теорему о трёх перпендикулярах, вычислить длину через теорему Пифагора). Он работает, когда в фигуре есть удобная плоскость симметрии, но на ЕГЭ часто бывает громоздким. Гораздо эффективнее два других.

Алгоритм решения: как выбрать метод?

АЛГОРИТМ

Алгоритм работы с задачей

Попробуй свести к планиметрии. Если в фигуре есть удобная плоскость симметрии (например, диагональное сечение в правильной пирамиде), которая содержит искомый перпендикуляр, сделай выносной 2D-чертёж. Задача сведётся к поиску высоты в треугольнике.
Примени метод объёмов. Если перпендикуляр падает в неизвестную точку плоскости, построй вспомогательную пирамиду. Вычисли её объём, взяв за основание «удобную» грань (где высоту легко найти). Затем найди площадь нужного сечения и примени формулу $h = \dfrac{3V}{S}$ .
Используй координаты. Если фигура вписана в «коробку» с прямыми углами (куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма) и сечение задано неудобно, вводи систему координат. Найди уравнение плоскости по трём точкам и примени формулу.

Примеры решения

Разберём применение двух главных методов на конкретных задачах.

Пример 1. Метод объёмов

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $6$ проведена плоскость $AB_1C$ . а) Докажите, что диагональ $BD_1$ перпендикулярна плоскости $AB_1C$ . б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $AB_1C$ .

Доказываем перпендикулярность (пункт а)

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Докажем, что $BD_1 \perp AC$ и $BD_1 \perp AB_1$ .
Спроецируй диагональ $BD_1$ на нижнее основание $ABCD$ . Это диагональ квадрата $BD$ . Диагонали квадрата перпендикулярны, то есть $BD \perp AC$ . По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $BD$ перпендикулярна $AC$ , то и сама наклонная $BD_1 \perp AC$ .
Аналогично, спроецируем $BD_1$ на переднюю грань $ABB_1A_1$ . Проекцией будет диагональ $A_1B$ (точка $D_1$ проецируется в $A_1$ ). Диагонали квадрата перпендикулярны: $A_1B \perp AB_1$ . По теореме о трёх перпендикулярах наклонная $BD_1 \perp AB_1$ .
Так как прямая $BD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $AB_1C$ , она перпендикулярна самой плоскости. Ч.т.д.

Строим вспомогательную пирамиду (пункт б)

Используем метод объёмов. Возьми треугольную пирамиду (тетраэдр), вершинами которой являются точки $B, A, B_1, C$ .

Вычисляем объём пирамиды

Вычисли объём, взяв за основание треугольник $ABC$ . Это прямоугольный равнобедренный треугольник, так как $ABCD$ - квадрат.

S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18

Высота пирамиды, опущенная из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABC$ , совпадает с боковым ребром куба $BB_1 = 6$ .

V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot BB_1 = \dfrac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36

Находим площадь сечения

Теперь посмотрим на ту же пирамиду, но примем за основание плоскость $AB_1C$ . Искомое расстояние от точки $B$ до этой плоскости - это в точности высота $h$ нашей пирамиды. Треугольник $AB_1C$ - равносторонний, так как все его стороны являются диагоналями граней куба: $AB_1 = B_1C = AC = 6\sqrt{2}$ . Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ :

S_{AB_1C} = \dfrac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}

Находим высоту через объём

h = \dfrac{3V}{S_{AB_1C}} = \dfrac{3 \cdot 36}{18\sqrt{3}} = \dfrac{108}{18\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

Ответ: б) $2\sqrt{3}$

Пример 2. Координатный метод

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=4, AD=3, AA_1=6$ . На ребре $AA_1$ отмечена точка $M$ так, что $AM=3$ . На ребре $CC_1$ отмечена точка $K$ так, что $CK=2$ . а) Докажите, что плоскость $DMK$ проходит через точку $P$ на ребре $BB_1$ , для которой $BP=5$ . б) Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $DMK$ .

Вводим систему координат (пункт а)

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0;\, 0;\, 0)$ . Ось $x$ направим вдоль ребра $DA$ , ось $y$ - вдоль $DC$ , ось $z$ - вдоль $DD_1$ . Длины рёбер: $DA=AD=3$ , $DC=AB=4$ , $DD_1=AA_1=6$ .

Выпишем координаты нужных точек:

$D(0;\, 0;\, 0)$
$M$ лежит на $AA_1$ , значит $x = 3, y = 0$ . Высота $AM = 3 \implies z = 3$ . Координаты: $M(3;\, 0;\, 3)$ .
$K$ лежит на $CC_1$ , значит $x = 0, y = 4$ . Высота $CK = 2 \implies z = 2$ . Координаты: $K(0;\, 4;\, 2)$ .
$P$ лежит на $BB_1$ , значит $x = 3, y = 4$ . По условию $BP = 5 \implies z = 5$ . Координаты: $P(3;\, 4;\, 5)$ .

Составляем уравнение плоскости

Составим уравнение плоскости $DMK$ вида $Ax + By + Cz + D = 0$ . Так как плоскость проходит через начало координат $D(0;\, 0;\, 0)$ , коэффициент $D = 0$ . Уравнение принимает вид $Ax + By + Cz = 0$ . Подставим координаты $M$ и $K$ :

\begin{cases} 3A + 0B + 3C = 0 \\ 0A + 4B + 2C = 0 \end{cases}

Из первого уравнения: $3A = -3C \implies A = -C$ . Из второго уравнения: $4B = -2C \implies B = -0{,}5C$ . Пусть $C = -2$ (можно взять любое число, кроме нуля). Тогда $A = 2$ и $B = 1$ . Уравнение плоскости $DMK$ :

2x + y - 2z = 0

Проверяем принадлежность точки P

Проверим, принадлежит ли точка $P(3;\, 4;\, 5)$ этой плоскости. Подставим её координаты в уравнение:

2 \cdot 3 + 4 - 2 \cdot 5 = 6 + 4 - 10 = 0

Получили верное тождество $0 = 0$ . Значит, точка $P$ действительно лежит в плоскости $DMK$ . Ч.т.д.

Применяем формулу расстояния (пункт б)

Нужно найти расстояние от точки $B_1$ до плоскости $2x + y - 2z = 0$ .

Координаты точки $B_1$ : $x=3$ (сдвиг по $DA$ ), $y=4$ (сдвиг по $DC$ ), $z=6$ (полная высота). $B_1(3;\, 4;\, 6)$ .

Применяем формулу расстояния:

d = \dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

d = \dfrac{|2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + (-2) \cdot 6 + 0|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}

d = \dfrac{|6 + 4 - 12|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{|-2|}{\sqrt{9}} = \dfrac{2}{3}

Ответ: б) $\dfrac{2}{3}$

Частые ошибки

Что запомнить

Метод объёмов - чемпион для пирамид и тетраэдров. Найди объём через любую удобную грань, потом подели на площадь нужной грани и умножь на $3$ .
Координатный метод - спаситель для кубов, прямоугольных параллелепипедов и правильных призм. Придётся решить простую систему из двух-трёх линейных уравнений, зато не нужно включать пространственное воображение.
Для метода объёмов аккуратно считай площадь сечения: часто это треугольник, все три стороны которого находятся по теореме Пифагора из граней исходной фигуры. Если сечение оказалось равносторонним, применяй $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 20-30 минут.
Очерёдность: Переходи к стереометрии после решения всех уравнений и неравенств (14, 16). Стереометрия требует концентрации.
Хитрости оценивания: Если пункт «а» (доказательство) кажется нерешаемым, смело пропускай его и делай пункт «б» (вычисление). Если ты найдёшь расстояние, опираясь на недоказанный факт из пункта «а», ты всё равно получишь 1 балл.
Оформление координат: Если решаешь координатным методом, обязательно опиши словами введение осей: «Введём прямоугольную систему координат. Начало координат поместим в точку D, ось X направим по лучу DA...». За чертёж без описания могут снять баллы.

За что дают баллы

В задании 15 можно заработать от 0 до 3 баллов:

3 балла (Максимум): Обоснованно и безупречно получен верный ответ в обоих пунктах. Все теоремы названы, вычисления без ошибок.
2 балла: Идеально решён один пункт (а или б), а во втором допущена обидная вычислительная ошибка (например, ошибка в сложении дробей), но логика решения второго пункта абсолютно верна. Либо полностью решены оба пункта, но в одном есть арифметическая ошибка.
1 балл: Идеально выполнен только пункт «а» (доказательство). Либо абсолютно верно выполнен только пункт «б» (например, с использованием недоказанного утверждения из пункта «а»).
0 баллов: Решение не содержит математически верных продвижений или логика в корне неверна.

Проверь себя

Чему равно расстояние от вершины тетраэдра до плоскости основания, если известны его объём $V$ и площадь основания $S$ ?
По какой формуле вычисляется расстояние от точки $M(x_0;\, y_0;\, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ ?
В кубе с ребром $6$ сечение $AB_1C$ — равносторонний треугольник. Чему равна его сторона?
Куда должен падать перпендикуляр из точки на плоскость, чтобы работал метод объёмов?