Геометрическая оптимизация

Обозначаем стороны

Пусть $x$ м - сторона загона, параллельная перегородке, а $y$ м - другая. Перегородка тоже имеет длину $x$, и вся сетка расходуется так:

Составляем функцию и находим ОДЗ

Обе стороны положительны: $x > 0$ и $90 - 1{,}5x > 0$, то есть $0 < x < 60$.

Исследуем

Старший коэффициент $-1{,}5 < 0$ - ветви параболы вниз, значит в вершине наибольшее значение:

Точка лежит внутри промежутка $(0;\, 60)$. Тот же вывод даёт производная: $S'(x) = 90 - 3x$ положительна при $x < 30$ и отрицательна при $x > 30$.

Возвращаемся к вопросу

Проверка сетки: $3 \cdot 30 + 2 \cdot 45 = 180$ м - сходится.

Ответ: $1350$ м$^2$ (загон $30$ м на $45$ м, перегородка длиной $30$ м).

Переводим единицы и обозначаем размеры

$4$ л $= 4000$ см$^3$. Пусть $x$ см - сторона квадратного дна, $h$ см - высота, $x > 0$:

Составляем функцию

Крышки нет, поверхность - дно и четыре стенки:

Находим производную

При $x > 0$ знаменатель положителен, поэтому знак задаёт скобка $x^3 - 8000$: она отрицательна при $0 < x < 20$ и положительна при $x > 20$. Функция сначала убывает, потом возрастает - значит $x = 20$ точка минимума.

Считаем ответ

Ответ: $1200$ см$^2$ (дно $20$ см на $20$ см, высота $10$ см).

Обозначаем и составляем функцию

Пусть $HC = x$ км, где $0 \leqslant x \leqslant 12$. Треугольник $AHC$ прямоугольный с катетами $4$ и $x$, поэтому $AC = \sqrt{16 + x^2}$, а $CB = 12 - x$. Стоимость в миллионах рублей:

Находим производную

Приравниваем числитель к нулю: $5x = 3\sqrt{16 + x^2}$. Левая часть неотрицательна при $x \geqslant 0$, поэтому обе части можно возвести в квадрат:

Проверяем характер точки

$F'(0) = -3 < 0$, а $F'(12) = \dfrac{60}{\sqrt{160}} - 3 \approx 1{,}74 > 0$. Других нулей на отрезке нет, значит производная меняет знак с минуса на плюс: функция убывает на $[0;\, 3)$ и возрастает на $(3;\, 12]$, и $x = 3$ - точка минимума.

Считаем стоимость

Для сравнения: через $H$ вышло бы $56$ млн, напрямую - около $63{,}2$ млн.

Заметь: $\dfrac{x}{AC} = \dfrac{3}{5}$ - это синус угла между трассой и перпендикуляром $AH$, и задан он одним лишь отношением цен, а от положения станции не зависит. Ровно так же преломляется луч света на границе двух сред.

Ответ: $52$ млн рублей (выход на дорогу в $3$ км от $H$ в сторону станции).

Связь даёт подобие

Пусть $x$ - сторона прямоугольника на катете длины $12$, а $y$ - на катете длины $9$. Маленький треугольник справа подобен исходному (общий острый угол и прямой угол), его катеты равны $12 - x$ и $y$:

Составляем функцию и ОДЗ

Исследуем и считаем

Старший коэффициент $-0{,}75 < 0$, ветви параболы вниз, наибольшее значение - в вершине:

Площадь треугольника равна $\dfrac{12 \cdot 9}{2} = 54$ - прямоугольник занял ровно её половину. Так выходит при любых катетах: удобная проверка.

Ответ: $27$ (прямоугольник $6$ на $4{,}5$).