Касательная, хорда, секущая

Суть темы

Задание 1 профильного ЕГЭ проверяет базовые знания планиметрии. Тема «Касательная, хорда, секущая» встречается здесь не часто, но её свойства фундаментальны: они работают и в первой части, и в сложной планиметрической задаче 18.

Почти все задачи на эту тему решаются одним из двух приёмов. Первый - провести радиус в точку касания и получить прямой угол. Второй - связать угол между линиями с дугой окружности. Третий сценарий, метрический, использует формулу касательной и секущей из одной внешней точки.

Основные формулы и свойства

Для задания 1 достаточно четырёх фактов. Запомни их наизусть - остальное выводится.

Проверь на интерактиве, что произведение не зависит от выбора секущей:

Дополнительно пригодятся ещё два факта про метрические соотношения внутри окружности.

Алгоритм решения

Примеры решения

Примеры идут от простого к сложному: свойство касательной и радиуса, угол между касательной и хордой, метрическая теорема.

Пример 1. Радиус и касательная

Условие: Точка $O$ - центр окружности. Из внешней точки $K$ проведена касательная $KM$ ($M$ - точка касания) и секущая $KO$, пересекающая окружность в ближней точке $N$. Дуга $MN$, заключённая внутри угла $MKO$, равна $28^\circ$. Найди угол $MKO$. Ответ дай в градусах.

Пример 2. Угол между касательной и хордой

Условие: Через точку $P$, лежащую на окружности, проведены касательная $t$ и хорда $PQ$. Угол между касательной и хордой равен $41^\circ$. Найди вписанный угол $PRQ$, опирающийся на ту же хорду с противоположной стороны от касательной. Ответ дай в градусах.

Пример 3. Касательная и секущая

Условие: Из точки $M$, расположенной вне окружности, проведены касательная $MT$ ($T$ - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в ближней точке $A$ и дальней точке $B$. Известно, что $MA = 3$, $AB = 9$. Найди длину касательной $MT$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Увидел касательную - сразу проводи радиус в точку касания и ставь прямой угол.
• Две касательные из одной внешней точки равны ($PA = PB$), прямая от точки до центра - биссектриса угла между ними.
• Угол между касательной и хордой = половине дуги внутри угла = вписанному углу на эту же хорду с другой стороны.
• В теореме $MT^2 = MA \cdot MB$ берётся расстояние от внешней точки до дальней точки окружности, а не длина хорды.
• Центральный угол = дуге, вписанный угол и угол между касательной и хордой = половине дуги.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $A$. Какой угол образует радиус $OA$ с касательной?
   • $90^\circ$
   • $45^\circ$
   • $60^\circ$
   • Зависит от радиуса окружности
2. Из точки $P$ проведены две касательные к окружности, касающиеся её в точках $A$ и $B$. Что верно?
   • $PA = PB$
   • $PA = PB = R$, где $R$ - радиус
   • $PA \cdot PB = R^2$
   • $PA + PB = 2R$
3. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен $35^\circ$. Чему равна дуга, заключённая внутри этого угла?
   • $70^\circ$
   • $35^\circ$
   • $17{,}5^\circ$
   • $145^\circ$
4. Из внешней точки $M$ проведены касательная $MT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ (ближняя) и $B$. Известно $MA = 2$, $AB = 6$. Чему равно $MT$?
   • $4$
   • $2\sqrt{3}$
   • $12$
   • $\sqrt{12}$

Проверить