Параллелограммы
Содержание
Параллелограммы (Задание 1)
Задание 1 открывает профильный ЕГЭ по математике. Это простая планиметрия, где проверяется знание базовых фигур. Задачи на параллелограмм встречаются здесь не так часто, как на треугольники или окружности, но они максимально предсказуемы. Если знать пару ключевых свойств и формул площадей, эти задачи решаются за одну минуту.
Суть темы
Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из этого определения вытекают все его замечательные свойства, которые нужно использовать при решении.
Основные формулы и свойства
Для успешного решения первой задачи достаточно помнить три группы фактов.
Свойство 1 можно проверить руками:
Самая важная часть для Задания 1 - это площади. Большинство задач построено именно на них.
Общий алгоритм решения
На ЕГЭ в этом номере есть два основных сюжета: поиск неизвестной высоты и поиск площади отсечённой фигуры (треугольника или трапеции).
Примеры решения
Разберём типичные задачи от самых простых к составным.
Условие: Стороны параллелограмма равны и . Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна . Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.
Вводим обозначения
Обозначим стороны: (меньшая), (большая). Высота к меньшей стороне: .
Находим площадь параллелограмма
Найдём площадь параллелограмма, умножив меньшую сторону на её высоту:
Выражаем искомую высоту
С другой стороны, эта же площадь равна произведению большей стороны на искомую высоту :
Выразим искомую высоту:
Проверяем на здравый смысл
Проверка здравым смыслом: сторона стала больше (), значит высота должна стать меньше (). Всё верно.
Во втором типе задач нужно найти площадь части параллелограмма.
Условие: Площадь параллелограмма равна . Точка - середина стороны . Найдите площадь треугольника .
Записываем площадь параллелограмма
Запишем формулу площади всего параллелограмма:
где - высота, проведённая к стороне (она же является высотой для треугольника , если опустить её из вершины ).
Записываем площадь треугольника
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
Используем середину стороны
По условию точка - середина , значит . Подставим это в формулу треугольника:
Вычисляем ответ
Так как , получаем:
Условие: Площадь параллелограмма равна . Точка - середина стороны . Найдите площадь трапеции .
Разбиваем параллелограмм на части
Эту задачу проще всего решить, опираясь на результат предыдущего примера. Отрезок делит параллелограмм на две фигуры: треугольник и трапецию .
Площадь всего параллелограмма состоит из суммы площадей этих частей:
Выражаем площадь трапеции
Находим площадь треугольника
Как мы доказали в Примере 2, площадь треугольника , отсечённого серединой стороны, всегда равна одной четвёртой площади параллелограмма:
Вычисляем ответ
Найдём площадь трапеции:
Частые ошибки
Что запомнить
- Правило качелей: чем длиннее сторона, тем короче проведённая к ней высота (произведение должно оставаться неизменным и равным площади).
- Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, отсекает треугольник, площадь которого равна площади параллелограмма. Оставшаяся трапеция забирает себе площади.
Стратегия на экзамене
- Стороны параллелограмма равны и , высота к меньшей стороне равна . Чему равна высота, опущенная на большую сторону?
- Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна
- Площадь параллелограмма равна . Точка — середина стороны . Чему равна площадь треугольника ?
- Какая линия делит площадь параллелограмма ровно пополам?