Задание 7 открывает блок уравнений в первой части профильного ЕГЭ по математике. Оно проверяет умение решать базовые уравнения: показательные, логарифмические, иррациональные и другие.
Показательные уравнения - абсолютные лидеры этого номера. На них приходится значительная часть задач в этом задании. Это отличная новость, потому что решаются они буквально в два-три простых шага и приносят самый быстрый и надёжный первичный балл.
Суть темы
Показательное уравнение - это уравнение, в котором неизвестная переменная x находится в показателе степени, а основание степени является заданным числом.
Главный принцип решения таких уравнений строится на строгом математическом свойстве: если основания равны, то и показатели степеней обязаны быть равны.
Основные формулы
Чтобы успешно справляться с заданием 7, не нужно знать сложные методы. Достаточно уверенно применять базовые свойства степеней.
Для того чтобы привести левую и правую части уравнения к одинаковому основанию a, тебе потребуются следующие свойства:
Алгоритм решения
Все показательные уравнения из первой части сводятся к одному и тому же алгоритму.
Примеры решения
Расположим задачи от самых простых к тем, где легко запутаться в знаках.
Пример 1. Классическое уравнение
Условие:
Найдите корень уравнения 52−x=125.
Приводим к общему основанию
Посмотрим на правую часть. Число 125 - это 5 в третьей степени (5⋅5⋅5=125).
Перепишем уравнение, заменив 125 на 53:
52−x=53
Приравниваем показатели
Основания равны, значит, можно приравнять показатели:
2−x=3
Решаем линейное уравнение
Решим полученное линейное уравнение. Перенесём 2 в правую часть:
−x=3−2
−x=1
x=−1
Проверяем
Проверка: 52−(−1)=52+1=53=125. Всё верно.
Ответ:−1
Пример 2. Уравнение с дробью
Условие:
Найдите корень уравнения 2x−3=161.
Представляем дробь степенью двойки
В левой части стоит основание 2. Значит, правую часть тоже нужно представить в виде степени двойки.
Вспомним, что 16=24. Тогда дробь 161 можно записать как 241.
Применим формулу отрицательного показателя степени a−n=an1:
161=2−4
Приравниваем показатели
Перепишем исходное уравнение:
2x−3=2−4
Основания одинаковые, приравниваем показатели:
x−3=−4
Находим корень
Переносим −3 вправо со знаком плюс:
x=−4+3
x=−1
Ответ:−1
Пример 3. Уравнение с переворотом дроби
Условие:
Найдите корень уравнения (61)x−2=6x.
Приводим к общему основанию
Слева основание 61, справа основание 6. Удобнее всё свести к целому основанию 6.
Представим 61 как 6−1.
Запишем левую часть, используя свойство степени в степени:
(6−1)x−2=6−1⋅(x−2)=6−x+2
Приравниваем показатели
Теперь уравнение выглядит так:
6−x+2=6x
Отбрасываем одинаковые основания и приравниваем показатели:
−x+2=x
Решаем линейное уравнение
Собираем неизвестные с одной стороны (например, перенесём −x вправо):
2=x+x
2x=2
x=1
Проверяем
Проверка: (61)1−2=(61)−1=61=6. И справа 61=6. Равенство выполняется.
Ответ:1
Что запомнить
Чтобы не тратить драгоценное время на экзамене, выучи наизусть степени базовых чисел. Это мощно ускорит твои вычисления не только в 7 задании, но и в логарифмах, и в текстовых задачах.
Частые ошибки
Самое обидное в задании 7 - потерять балл из-за спешки при выполнении базовых арифметических действий.