Показательные уравнения и неравенства

Содержание

Показательные уравнения в прикладных задачах (Задание 10)
Основные формулы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене

Показательные уравнения в прикладных задачах (Задание 10)

Десятое задание проверяет умение работать с физическими формулами. В подтеме «Показательные уравнения» тебе встретятся задачи на радиоактивный распад, охлаждение нагретого тела по закону Ньютона и размножение бактерий. Все эти процессы описываются одним семейством формул, в которых неизвестная величина (обычно время $t$ ) сидит в показателе степени.

Главное правило: здесь не нужно знать физику. Задача сводится к тому, чтобы аккуратно подставить числа в готовую формулу и решить полученное показательное уравнение. Твоя цель - привести уравнение к виду $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ и приравнять показатели.

График экспоненциального распада и роста

Основные формулы

Чтобы справляться с такими задачами, нужно железно знать свойства степеней и определение логарифма.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задачи 10

Выпиши формулу и «дано». Внимательно прочитай текст, выпиши формулу и столбиком запиши все известные величины с их значениями и единицами измерения.
Подставь числа в формулу. Не пытайся сначала алгебраически выразить неизвестную - сразу подставляй всё известное. Формула визуально сожмётся.
Изолируй степень. Раздели обе части уравнения на числовые коэффициенты перед показательной функцией. Слева должно остаться обычное число (часто дробь), справа - только степень вида $2^{-t/T}$ .
Приведи к одному основанию. Представь число слева в виде степени с тем же основанием, что и справа. Дробь вида $\dfrac{1}{2^k}$ - это $2^{-k}$ .
Приравняй показатели. Основания одинаковые - отбрасываем их. Остаётся простое линейное уравнение на неизвестную. Реши его.
Проверь ответ подстановкой. Подставь найденное значение $t$ в исходную формулу. Должно получиться именно то число, которое указано в условии.

Примеры решения

Три типовые задачи с разными физическими моделями: радиоактивный распад, охлаждение и размножение бактерий.

Пример 1. Радиоактивный распад

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону

m = m_0 \cdot 2^{-t/T},

где $m_0$ - начальная масса (в мг), $t$ - время (в минутах), $T$ - период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна $80$ мг, а период полураспада составляет $3$ минуты. Найди, через сколько минут масса изотопа будет равна $10$ мг.

Решение:

Выпишем дано: $m_0 = 80$ , $T = 3$ , $m = 10$ . Найти: $t$ .

Подставим значения в формулу:

10 = 80 \cdot 2^{-t/3}

Изолируем степень, разделив обе части на $80$ :

\dfrac{10}{80} = 2^{-t/3} \iff \dfrac{1}{8} = 2^{-t/3}

Приведём к одному основанию. Знаем, что $8 = 2^3$ , значит $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$ :

2^{-3} = 2^{-t/3}

Приравняем показатели:

-3 = -\dfrac{t}{3} \iff t = 9

Проверка: $80 \cdot 2^{-9/3} = 80 \cdot 2^{-3} = \dfrac{80}{8} = 10$ . Сошлось.

Ответ: $9$

Пример 2. Охлаждение тела (закон Ньютона)

Температура тела $\vartheta$ (в градусах Цельсия) при охлаждении в помещении убывает по закону

\vartheta = \vartheta_{\text{к}} + (\vartheta_0 - \vartheta_{\text{к}}) \cdot 2^{-t/\tau},

где $\vartheta_0$ - начальная температура тела, $\vartheta_{\text{к}} = 20\,^\circ\text{C}$ - температура помещения, $t$ - время с начала охлаждения (в минутах), $\tau$ - характеристическое время (в минутах). В начальный момент температура тела равна $180\,^\circ\text{C}$ , характеристическое время $\tau = 7$ минут. Через сколько минут температура тела станет равна $30\,^\circ\text{C}$ ?

График охлаждения тела по закону Ньютона из Примера 2

Пример 3. Размножение бактерий

Количество бактерий $N$ в колонии растёт по закону

N = N_0 \cdot 2^{t/T},

где $N_0$ - начальное количество бактерий, $T$ - время удвоения (в часах), $t$ - время с начала наблюдения (в часах). В начальный момент в чашке Петри было $N_0 = 150$ бактерий, время удвоения $T = 2$ часа. Через сколько часов количество бактерий достигнет $9\,600$ ?

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Единицы времени и момент

t=0

Ошибка 1: в формуле период полураспада $T$ задан в минутах, а время $t$ подставляют в секундах (или наоборот).

Ошибка 2: считать, что при $t = 0$ масса равна нулю. На самом деле $2^0 = 1$ , поэтому $m(0) = m_0 \cdot 1 = m_0$ - в начальный момент масса равна начальной массе, а не нулю.

Правильно: сверяй единицы измерения $t$ и $T$ до подстановки. А при подстановке $t = 0$ помни: любое число в нулевой степени равно $1$ , поэтому формула даёт именно $m_0$ .

Что запомнить

СОВЕТ

Таблица степеней для приведения к одному основанию

Перед экзаменом отработай эту таблицу до автоматизма - почти все задачи сводятся к одной из этих строк.

$A$	$A = 2^k$	$\dfrac{1}{A}$	$\dfrac{1}{A} = 2^{-k}$
$2$	$2^1$	$\dfrac{1}{2}$	$2^{-1}$
$4$	$2^2$	$\dfrac{1}{4}$	$2^{-2}$
$8$	$2^3$	$\dfrac{1}{8}$	$2^{-3}$
$16$	$2^4$	$\dfrac{1}{16}$	$2^{-4}$
$32$	$2^5$	$\dfrac{1}{32}$	$2^{-5}$
$64$	$2^6$	$\dfrac{1}{64}$	$2^{-6}$

Сокращай, а не умножай. В задачах с большими числами авторы ЕГЭ специально подбирают значения так, чтобы всё легко делилось. Всегда дели обе части уравнения на коэффициенты перед степенью, прежде чем работать с показателем.
Сначала изолируй степень, потом переводи в одно основание. Пока слева остаётся «лишнее» число (например, $120$ ), переводить $\dfrac{1}{8}$ в $2^{-3}$ рано.
Формат ответа. В задаче 10 ответ всегда целое число или короткая десятичная дробь. Получилось $t = \log_2 5$ или $t = \dfrac{7}{3}$ - ищи арифметическую ошибку в подстановке.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-7 минут.
Приоритет: классическая задача повышенного уровня из первой части. Решай её сразу после самых простых номеров (1-4, 7-9).
Проверка физическим смыслом. При распаде масса должна уменьшаться ( $m < m_0$ ), при росте - увеличиваться ( $N > N_0$ ), при охлаждении температура приближается к комнатной. Если при вычислении времени $t$ получилось отрицательное число - ищи ошибку в знаках показателя.
Проверка подстановкой. Посчитай $2^{t/T}$ для найденного $t$ в уме (через таблицу степеней) и подставь в исходную формулу. Должно получиться ровно то число, которое задано в условии.

Проверь себя

Масса изотопа меняется по закону $m = m_0 \cdot 2^{-t/T}$ . Чему равна масса при $t = 0$ ?
Уравнение $\dfrac{1}{16} = 2^{-t/3}$ . Чему равно $t$ ?
$m_0 = 40$ мг, период полураспада $T = 5$ минут. Через сколько минут масса станет $5$ мг?
Число бактерий растёт по закону $N = N_0 \cdot 2^{t/T}$ , $N_0 = 200$ , $T = 3$ часа. Через сколько часов бактерий станет $1600$ ?