В задании 8 профильного ЕГЭ проверяется умение преобразовывать числовые выражения. Одна из частых тем этого номера - работа со степенями.
Главная особенность этих задач: изначально выражение выглядит громоздко, в нём могут быть огромные показатели или неудобные десятичные дроби. Но поскольку это первая часть экзамена, ответом всегда должно получиться целое число или конечная десятичная дробь. Это означает, что при правильном применении формул все «страшные» степени обязательно сократятся.
Твоя главная цель в таких задачах - свести все числа к одинаковым основаниям.
Для успешного решения нужно знать базовые свойства степеней. Они работают для любых действительных показателей, если основание степени больше нуля.
ВАЖНОЕ
Действия с одинаковыми основаниями
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а при делении - вычитаются:
a m ⋅ a n = a m + n a^m \cdot a^n = a^{m+n} a m ⋅ a n = a m + n a m a n = a m − n \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} a n a m = a m − n При возведении степени в степень показатели перемножаются:
( a m ) n = a m ⋅ n (a^m)^n = a^{m \cdot n} ( a m ) n = a m ⋅ n ВАЖНОЕ
Действия с одинаковыми показателями
Степень произведения равна произведению степеней множителей. Это свойство работает и в обратную сторону:
( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n Аналогично для дробей:
( a b ) n = a n b n \left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} ( b a ) n = b n a n ВАЖНОЕ
Отрицательные и нулевые показатели
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице:
Отрицательный показатель означает, что число нужно «перевернуть» (записать обратное число):
a − n = 1 a n a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} a − n = a n 1 ( a b ) − n = ( b a ) n \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \dfrac{b}{a} \right)^n ( b a ) − n = ( a b ) n ВАЖНОЕ
Дробные показатели и корни
Корень n n n
a m / n = a m n a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} a m / n = n a m Это свойство позволяет заменить все корни в задаче на обычные дроби в показателе и применять базовые формулы.
ЗАМЕЧАНИЕ
Простые числа
Простое число делится только на 1 1 1 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 2, 3, 5, 7, 11, 13 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13
Встретив задачу со степенями, действуй по чёткому плану. Это убережёт от вычислений в лоб.
Разберём пять примеров, которые охватывают все основные подтипы задач на степени.
Пример 1. Базовые свойства степеней
Найдите значение выражения ( 5 12 ) 4 5 45 \dfrac{(5^{12})^4}{5^{45}} 5 45 ( 5 12 ) 4
Сначала раскроем скобки в числителе. При возведении степени в степень показатели перемножаются:
( 5 12 ) 4 = 5 12 ⋅ 4 = 5 48 (5^{12})^4 = 5^{12 \cdot 4} = 5^{48} ( 5 12 ) 4 = 5 12 ⋅ 4 = 5 48
Перепишем дробь с новым числителем:
5 48 5 45 \dfrac{5^{48}}{5^{45}} 5 45 5 48
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:
5 48 − 45 = 5 3 5^{48 - 45} = 5^3 5 48 − 45 = 5 3
Возводим число в куб:
5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 Ответ: 125 125 125
Пример 2. Десятичные дроби в показателе
Найдите значение выражения 7 0,14 ⋅ 49 0,43 7^{0{,}14} \cdot 49^{0{,}43} 7 0 , 14 ⋅ 4 9 0 , 43
Решение Основания у степеней разные (7 7 7 49 49 49 49 = 7 2 49 = 7^2 49 = 7 2
49 0,43 = ( 7 2 ) 0,43 49^{0{,}43} = (7^2)^{0{,}43} 4 9 0 , 43 = ( 7 2 ) 0 , 43 При возведении степени в степень показатели перемножаются:
( 7 2 ) 0,43 = 7 2 ⋅ 0,43 = 7 0,86 (7^2)^{0{,}43} = 7^{2 \cdot 0{,}43} = 7^{0{,}86} ( 7 2 ) 0 , 43 = 7 2 ⋅ 0 , 43 = 7 0 , 86 Теперь подставим это в исходное выражение. Основания стали одинаковыми:
7 0,14 ⋅ 7 0,86 7^{0{,}14} \cdot 7^{0{,}86} 7 0 , 14 ⋅ 7 0 , 86 При умножении степеней показатели складываются:
7 0,14 + 0,86 = 7 1 = 7 7^{0{,}14 + 0{,}86} = 7^1 = 7 7 0 , 14 + 0 , 86 = 7 1 = 7 Пример 3. Составные основания и отрицательные степени
Найдите значение выражения 15 8,2 ⋅ 3 − 6,2 5 7,2 \dfrac{15^{8{,}2} \cdot 3^{-6{,}2}}{5^{7{,}2}} 5 7 , 2 1 5 8 , 2 ⋅ 3 − 6 , 2
Решение В задаче три разных основания: 15 15 15 3 3 3 5 5 5 3 3 3 5 5 5 15 15 15 15 = 3 ⋅ 5 15 = 3 \cdot 5 15 = 3 ⋅ 5
15 8,2 = ( 3 ⋅ 5 ) 8,2 = 3 8,2 ⋅ 5 8,2 15^{8{,}2} = (3 \cdot 5)^{8{,}2} = 3^{8{,}2} \cdot 5^{8{,}2} 1 5 8 , 2 = ( 3 ⋅ 5 ) 8 , 2 = 3 8 , 2 ⋅ 5 8 , 2 Перепишем числитель дроби, подставив полученное выражение:
3 8,2 ⋅ 5 8,2 ⋅ 3 − 6,2 3^{8{,}2} \cdot 5^{8{,}2} \cdot 3^{-6{,}2} 3 8 , 2 ⋅ 5 8 , 2 ⋅ 3 − 6 , 2 Сгруппируем степени с основанием 3 3 3
3 8,2 ⋅ 3 − 6,2 = 3 8,2 + ( − 6,2 ) = 3 8,2 − 6,2 = 3 2 3^{8{,}2} \cdot 3^{-6{,}2} = 3^{8{,}2 + (-6{,}2)} = 3^{8{,}2 - 6{,}2} = 3^2 3 8 , 2 ⋅ 3 − 6 , 2 = 3 8 , 2 + ( − 6 , 2 ) = 3 8 , 2 − 6 , 2 = 3 2 Теперь запишем всю дробь целиком с учётом упрощённого числителя:
3 2 ⋅ 5 8,2 5 7,2 \dfrac{3^2 \cdot 5^{8{,}2}}{5^{7{,}2}} 5 7 , 2 3 2 ⋅ 5 8 , 2 Выполним деление для степеней с основанием 5 5 5
5 8,2 5 7,2 = 5 8,2 − 7,2 = 5 1 = 5 \dfrac{5^{8{,}2}}{5^{7{,}2}} = 5^{8{,}2 - 7{,}2} = 5^1 = 5 5 7 , 2 5 8 , 2 = 5 8 , 2 − 7 , 2 = 5 1 = 5 Собираем финальное выражение и вычисляем:
3 2 ⋅ 5 1 = 9 ⋅ 5 = 45 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45 3 2 ⋅ 5 1 = 9 ⋅ 5 = 45 Пример 4. Дробные показатели
Найдите значение выражения 9 1 / 4 ⋅ 27 5 / 6 81 1 / 4 \dfrac{9^{1/4} \cdot 27^{5/6}}{81^{1/4}} 8 1 1/4 9 1/4 ⋅ 2 7 5/6
Решение Все основания (9 9 9 27 27 27 81 81 81
9 = 3 2 9 = 3^2 9 = 3 2 27 = 3 3 27 = 3^3 27 = 3 3 81 = 3 4 81 = 3^4 81 = 3 4 Подставим эти представления в исходное выражение и раскроем скобки, перемножив показатели:
Числитель:
9 1 / 4 = ( 3 2 ) 1 / 4 = 3 2 ⋅ 1 / 4 = 3 2 / 4 = 3 1 / 2 9^{1/4} = (3^2)^{1/4} = 3^{2 \cdot 1/4} = 3^{2/4} = 3^{1/2} 9 1/4 = ( 3 2 ) 1/4 = 3 2 ⋅ 1/4 = 3 2/4 = 3 1/2 27 5 / 6 = ( 3 3 ) 5 / 6 = 3 3 ⋅ 5 / 6 = 3 15 / 6 = 3 5 / 2 27^{5/6} = (3^3)^{5/6} = 3^{3 \cdot 5/6} = 3^{15/6} = 3^{5/2} 2 7 5/6 = ( 3 3 ) 5/6 = 3 3 ⋅ 5/6 = 3 15/6 = 3 5/2 Знаменатель:
81 1 / 4 = ( 3 4 ) 1 / 4 = 3 4 ⋅ 1 / 4 = 3 1 = 3 81^{1/4} = (3^4)^{1/4} = 3^{4 \cdot 1/4} = 3^1 = 3 8 1 1/4 = ( 3 4 ) 1/4 = 3 4 ⋅ 1/4 = 3 1 = 3 Выполним умножение в числителе (показатели складываются). Приведём дроби к общему знаменателю 2 2 2
3 1 / 2 ⋅ 3 5 / 2 = 3 1 / 2 + 5 / 2 = 3 6 / 2 = 3 3 = 27 3^{1/2} \cdot 3^{5/2} = 3^{1/2 + 5/2} = 3^{6/2} = 3^3 = 27 3 1/2 ⋅ 3 5/2 = 3 1/2 + 5/2 = 3 6/2 = 3 3 = 27 27 3 = 9 \dfrac{27}{3} = 9 3 27 = 9 (Или через свойства степеней: 3 3 3 1 = 3 3 − 1 = 3 2 = 9 \dfrac{3^3}{3^1} = 3^{3-1} = 3^2 = 9 3 1 3 3 = 3 3 − 1 = 3 2 = 9
Пример 5. Выражение с корнями
Найдите значение выражения 16 3 ⋅ 2 6 2 \dfrac{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[6]{2}}{\sqrt{2}} 2 3 16 ⋅ 6 2
Решение Переведём все корни в степени с дробными показателями, используя формулу a m n = a m / n \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} n a m = a m / n 16 = 2 4 16 = 2^4 16 = 2 4
16 3 = 2 4 3 = 2 4 / 3 \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^{4/3} 3 16 = 3 2 4 = 2 4/3 2 6 = 2 1 / 6 \sqrt[6]{2} = 2^{1/6} 6 2 = 2 1/6 2 = 2 1 / 2 \sqrt{2} = 2^{1/2} 2 = 2 1/2 2 4 / 3 ⋅ 2 1 / 6 2 1 / 2 \dfrac{2^{4/3} \cdot 2^{1/6}}{2^{1/2}} 2 1/2 2 4/3 ⋅ 2 1/6 Числитель: при умножении показатели складываются. Знаменатель: при делении показатель вычитается. Соберём один общий показатель:
2 4 / 3 + 1 / 6 − 1 / 2 2^{4/3 + 1/6 - 1/2} 2 4/3 + 1/6 − 1/2 Приведём все дроби в показателе к общему знаменателю 6 6 6
4 3 = 8 6 , 1 6 = 1 6 , 1 2 = 3 6 \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6}, \quad \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6}, \quad \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} 3 4 = 6 8 , 6 1 = 6 1 , 2 1 = 6 3 Сложим и вычтем числители:
2 8 / 6 + 1 / 6 − 3 / 6 = 2 6 / 6 = 2 1 = 2 2^{8/6 + 1/6 - 3/6} = 2^{6/6} = 2^1 = 2 2 8/6 + 1/6 − 3/6 = 2 6/6 = 2 1 = 2 ЧАСТАЯ ОШИБКА
Путаница в сложении и умножении показателей
Ошибка: Возводить степень в степень сложением показателей: ( 5 3 ) 4 = 5 3 + 4 = 5 7 (5^3)^4 = 5^{3+4} = 5^7 ( 5 3 ) 4 = 5 3 + 4 = 5 7 Правильно: При возведении степени в степень показатели перемножаются! ( 5 3 ) 4 = 5 3 ⋅ 4 = 5 12 (5^3)^4 = 5^{3 \cdot 4} = 5^{12} ( 5 3 ) 4 = 5 3 ⋅ 4 = 5 12 5 3 ⋅ 5 4 = 5 7 5^3 \cdot 5^4 = 5^7 5 3 ⋅ 5 4 = 5 7
ЧАСТАЯ ОШИБКА
Ошибки при сложении дробных показателей
Ошибка: Складывать числители с числителями, а знаменатели со знаменателями: 2 1 / 2 ⋅ 2 1 / 3 = 2 2 / 5 2^{1/2} \cdot 2^{1/3} = 2^{2/5} 2 1/2 ⋅ 2 1/3 = 2 2/5 Правильно: Дроби складываются только приведением к общему знаменателю. Общий знаменатель 2 2 2 3 3 3 6 6 6 1 2 = 3 6 \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} 2 1 = 6 3 1 3 = 2 6 \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6} 3 1 = 6 2 5 6 \dfrac{5}{6} 6 5 2 1 / 2 ⋅ 2 1 / 3 = 2 5 / 6 2^{1/2} \cdot 2^{1/3} = 2^{5/6} 2 1/2 ⋅ 2 1/3 = 2 5/6
Если в задаче разные основания - разложи их на простые множители (2 , 3 , 5 , 7 2, 3, 5, 7 2 , 3 , 5 , 7
Если основания одинаковые - смело объединяй их, применяя сложение или вычитание показателей.
Радикалы (корни) неудобны для вычислений. Всегда переходи к дробным показателям: 7 2 3 = 7 2 / 3 \sqrt[3]{7^2} = 7^{2/3} 3 7 2 = 7 2/3
Следи за знаками в показателе при переносе степени из знаменателя в числитель: 1 3 − 4 = 3 4 \dfrac{1}{3^{-4}} = 3^4 3 − 4 1 = 3 4
СОВЕТ
Таблица степеней, которую стоит знать наизусть
Степени двойки: 2 2 = 4 , 2 3 = 8 , 2 4 = 16 , 2 5 = 32 , 2 6 = 64 , 2 7 = 128 , 2 8 = 256 , 2 9 = 512 , 2 10 = 1024 2^2 = 4,\; 2^3 = 8,\; 2^4 = 16,\; 2^5 = 32,\; 2^6 = 64,\; 2^7 = 128,\; 2^8 = 256,\; 2^9 = 512,\; 2^{10} = 1024 2 2 = 4 , 2 3 = 8 , 2 4 = 16 , 2 5 = 32 , 2 6 = 64 , 2 7 = 128 , 2 8 = 256 , 2 9 = 512 , 2 10 = 1024 Степени тройки: 3 2 = 9 , 3 3 = 27 , 3 4 = 81 , 3 5 = 243 , 3 6 = 729 3^2 = 9,\; 3^3 = 27,\; 3^4 = 81,\; 3^5 = 243,\; 3^6 = 729 3 2 = 9 , 3 3 = 27 , 3 4 = 81 , 3 5 = 243 , 3 6 = 729 Степени пятёрки: 5 2 = 25 , 5 3 = 125 , 5 4 = 625 5^2 = 25,\; 5^3 = 125,\; 5^4 = 625 5 2 = 25 , 5 3 = 125 , 5 4 = 625 Степени семёрки: 7 2 = 49 , 7 3 = 343 7^2 = 49,\; 7^3 = 343 7 2 = 49 , 7 3 = 343 Разложения составных чисел: 6 = 2 ⋅ 3 6 = 2 \cdot 3 6 = 2 ⋅ 3 10 = 2 ⋅ 5 10 = 2 \cdot 5 10 = 2 ⋅ 5 12 = 2 2 ⋅ 3 12 = 2^2 \cdot 3 12 = 2 2 ⋅ 3 14 = 2 ⋅ 7 14 = 2 \cdot 7 14 = 2 ⋅ 7 15 = 3 ⋅ 5 15 = 3 \cdot 5 15 = 3 ⋅ 5 18 = 2 ⋅ 3 2 18 = 2 \cdot 3^2 18 = 2 ⋅ 3 2 21 = 3 ⋅ 7 21 = 3 \cdot 7 21 = 3 ⋅ 7 35 = 5 ⋅ 7 35 = 5 \cdot 7 35 = 5 ⋅ 7 СОВЕТ
Стратегия на экзамене
Время выполнения: 3-5 минут.Проверка ответа: Если в итоге у тебя осталась степень вроде 3 1,4 3^{1{,}4} 3 1 , 4 1 , 2 , 3... 1, 2, 3... 1 , 2 , 3... Оформление черновика: Пиши дробные показатели крупно, чтобы 1 2 \frac{1}{2} 2 1 12 12 12 Проверь себя
Чему равно ( 2 5 ) 3 (2^5)^3 ( 2 5 ) 3 ? 2 15 2^{15} 2 15 2 8 2^8 2 8 4 15 4^{15} 4 15 Чему равно 3 0,3 ⋅ 3 0,7 3^{0{,}3} \cdot 3^{0{,}7} 3 0 , 3 ⋅ 3 0 , 7 ? 3 3 3 9 9 9 3 0,21 3^{0{,}21} 3 0 , 21 Как записать 7 2 5 \sqrt[5]{7^2} 5 7 2 в виде степени? 7 2 / 5 7^{2/5} 7 2/5 7 5 / 2 7^{5/2} 7 5/2 7 10 7^{10} 7 10 Чему равно 1 2 − 3 \dfrac{1}{2^{-3}} 2 − 3 1 ? 8 8 8 1 8 \dfrac{1}{8} 8 1 − 8 -8 − 8