Преобразования числовых иррациональных выражений

Объединяем корни под один знак

Все корни имеют одинаковую степень (кубическую), поэтому всё выражение записывается под один общий корень:

Упрощаем выражение под корнем

Сокращаем дробь внутри корня. Разделим $16$ на $4$:

Вычисляем произведение под корнем:

Извлекаем кубический корень

Нужно вспомнить, какое число в третьей степени даёт $216$. Это $6$, так как $6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.

Способ 1: Умножение «фонтанчиком»

Умножим каждое слагаемое в скобках на $\sqrt{6}$:

Вычисляем значения под корнями:

Извлекаем корни:

Способ 2: Вынесение множителя из-под корня

Разложим числа $150$ и $54$ на множители так, чтобы выделить полные квадраты:

Подставим в исходное выражение:

Приведём подобные слагаемые в скобках:

Сравниваем способы

Оба способа дают одинаковый результат. Второй способ снижает риск ошибки при умножении больших чисел.

Сворачиваем первое подкоренное выражение в квадрат

Это самый сложный подтип задания 8. Чтобы избавиться от внешнего корня, нужно представить подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы или разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Разбери первое выражение: $13 + 4\sqrt{3}$. Слагаемое с корнем ($4\sqrt{3}$) - это удвоенное произведение $2ab$. Значит, $2ab = 4\sqrt{3} \implies ab = 2\sqrt{3}$. Подберём $a$ и $b$. Пусть $a = 2\sqrt{3}$, а $b = 1$. Проверим сумму квадратов: $a^2 + b^2 = (2\sqrt{3})^2 + 1^2 = 12 + 1 = 13$. Совпало! Первое подкоренное выражение сворачивается в квадрат:

Сворачиваем второе выражение

Аналогично для второго выражения:

Подставляем квадраты под корни

Подставляем квадраты обратно под корни:

Раскрываем модули

Применяем правило $\sqrt{x^2} = |x|$:

Так как $2\sqrt{3} > 1$ (ведь $\sqrt{12} > \sqrt{1}$), подмодульные выражения положительны. Модули раскрываются с тем же знаком:

Корни взаимно уничтожились, остался красивый целый ответ.

(Альтернативный метод: можно было обозначить всё искомое выражение за $X$ и возвести в квадрат $X^2$, применив формулу квадрата разности к самим большим корням).